《3.3 函数的最大值与最小值》导学案

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1、《3.3函数的最大值与最小值》导学案课程学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.掌握求在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的方法和步骤.课程导学建议重点:掌握利用导数求函数最大(小)值的方法与步骤.难点:含有参数的函数的最值讨论.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境如图，设铁路线AB=50km，点C处与B之间的距离为10km，现将货物从A运往C，已知1km铁路费用为2元，1km公路费用为4元，在AB上M处修筑公路至C，使运费由A到C最省，求M的具体位置.知识导学问

2、题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值，函数的最大值和最小值是一个整体性概念，　最大值　必须是整个区间上所有函数值中的最大者，　最小值　必须是整个区间上的所有函数值中的最小者. 问题2:函数的最值与极值的区别(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的，极大值、极小值是比较　极值点　附近的函数值得出的； (2)函数的极值可以有多个，但最值只能有　一　个； (3)极值只能在区间内取得，最值可以在　端点　处取得； (4)有极值未必有最值，有最值也未必有极值；(5)极值有可能成为最值，最值只要

3、不在端点处取得，那么最值必定是　极值　. 问题3:求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使　f'(x)=0　的点. (2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点及　端点　的函数值，其中最大的一个为　最大值　，最小的一个为　最小值　. 问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:(1)恒成立问题；(2)函数的　零点　即方程根的问题；(3)不等式的证明问题；(4)求参数的取值范围问题. 知识链接对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)在开区间上虽

4、然连续不断，但不能保证有最大值或最小值.例如，函数f(x)=，x∈(0，2)，y=f(x)的图像在(0，2)上连续不断，但y=f(x)没有最大值和最小值.(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y=f(x)有最大值和最小值.例如，函数f(x)=作图可知f(x)无最小值.基础学习交流1.下列说法正确的是(　　).A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值【解析】最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.【

5、答案】D2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f'(x)(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能　【解析】由题意知函数在闭区间上所有函数值相等，故其导数为0.【答案】A3.函数y=x·e-x在x∈[2，4]上的最小值为　　　　. 【解析】y'==，当x∈[2，4]时，y'<0，即函数y=x·e-x在x∈[2，4]上单调递减，故当x=4时，函数有最小值为.【答案】4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]上的最大值为3

6、，最小值为-29，且a>0，求a，b的值.【解析】f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，令f'(x)=0，得x=0或x=4，则函数f(x)在[-1，2]上的单调性及极值情况如下表所示:x[-1，0)0(0，2]f'(x)+0-f(x)↗极大值↘　　∴f(0)=b=3.又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3，f(2)=8a-24a+3=-16a+3

7、，3]上的最大值与最小值.【方法指导】求出函数y=f(x)的所有极值和端点函数值f(a)、f(b)，比较它们的大小，就可以求出函数的最大值与最小值.【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，即x2-4=0，因为f'(x)>0时，x<-2或x>2，f'(x)<0时，-2

8、)内可导，则求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为:(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值.探究二利用函数的最值求参数的范围函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　).A.0≤a<1　　　　　　　B.0