求轨迹方程地常用方法及练习

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1、求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。二、常用方法及例题1.用定义法

2、求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程

3、为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。-8-【变式1】:1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。。∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则

4、MO

5、-

6、MC

7、=2，满足双曲线定义。故选D。2.用直译法求曲线轨迹方程如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关

8、系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。例2：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程？解设M点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐

9、标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。-8-3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】∵

10、PA

11、=代入得化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的

12、圆.[来源:学。科。网Z。X。X。K]。X。X。K例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数法)分析1：利用△PAB为直角三角形的几何特性：解法1：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析2：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的

13、联系。解法2:设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，-8-注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。3.用参数法求曲线轨迹方程如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点