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1、九年级数学第二十七章 相似例析及训练精选 1.三角形相似的证题思路: (1)相交线型 常见的有如下四种情形,如图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADE∽△ABC. 如下左图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADC∽△ACB, 如下右图,已知∠B=∠D,则由对顶角∠1=∠2得,△ADE∽△ABC. (2)旋转型 已知∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,下图为常见的基本图形. (3)母子型 已知∠ACB=90°,AB⊥CD,则△CBD∽△ABC∽△ACD. 解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.【例
2、1】已知如图:(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是 ( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似【标准解答】选A.图(1)中已有一组角相等,根据三角形的内角和定理,即可求得△ABC的第三角,由有两角对应相等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似.如图(1),∵∠A=35°,∠B=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=70°,∵∠E=75°,∠F=70°,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.
3、图(2)根据图形中的已知条件,即可证得=,又由对顶角相等,即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似.如图(2),∵OA=4,OD=3,OC=8,OB=6,∴=,∵∠AOC=∠DOB,∴△AOC∽△DOB. 【例2】如图,∠1=∠2,添加一个条件使得△ADE∽△ACB, . 【标准解答】∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠CAB.当∠D=∠C或∠E=∠B或=时,△ADE∽△ACB.答案:∠D=∠C(不唯一)【例3】如图在△ABC中D是AB边上一点,连接CD,要使△ADC与△ABC相似,应添加的条件是 . 【标准解答】△ABC和△ACD中,∠DA
4、C=∠CAB,若要△ADC与△ABC相似,需添加的条件为:①∠ADC=∠ACB;②∠ACD=∠B;③=或AC2=AB?AD.答案:∠ADC=∠ACB(不唯一) 2.添平行线构造相似三角形的方法: (1)相似三角形中,往往碰到要证的问题与三角形相似联系不上,或者说图中根本不存在相似三角形.为此我们通常过某一点作某条线段的平行线,构造出“A”型或“X”型,通过相似三角形转化为线段的比,从而解决问题.【例4】在图1至图3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.(1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系.(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2,其中AO=
5、OB.求证:AC=BD,AC⊥BD.(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3,求的值. 【标准解答】(1)AO=BD,AO⊥BD.(2)如图,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO=∠BEO.又∵AO=OB,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE.∴AC=BE.又∵∠1=45°,∴∠ACO=∠BEO=135°,∴∠DEB=45°.∵∠2=45°,∴BE=BD,∠EBD=90°.∴AC=BD.延长AC交DB的延长线于F,如图: ∵BE∥AC,∴∠AFD=90°.∴AC⊥BD.(3)如图,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO=∠ACO.又∵∠BOE=∠AOC,∴△BOE∽△AOC.∴
6、=.又∵OB=kAO, 由(2)的方法易得BE=BD.∴=k.(2)在添加相关的平行线时,应尽量使所求结论的比例关系快捷地展现在平行线中,且最大限度地保留已知条件,尤其是比例关系在平行线中的简洁展现.(3)在直角三角形或有垂线时,往往作垂线,得到辅助线与已知垂直线段平行.【例5】如图(1),在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1)如图(2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 .证明:(2)如图(3),当m=1,n为任意
7、实数时,EF与EG的数量关系是 .证明:(3)如图(1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 .(写出关系式,不必证明)【标准解答】(1)如图,连接DE,∵AC=mBC,CD⊥AB,当m=1,n=1时, ∴AD=BD,∠ACD=45°,∴CD=AD=AB,∵AE=nEC,∴DE=AE=EC=AC,∴∠EDC=45°,DE⊥AC,∵∠A=45°,∴∠A=∠EDG,∵EF⊥
