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《等价无穷小替换,极限计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习
2、（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊nxxxxx0xx0xx0定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。x＊例如,limsinx0,函数sinx是当x0时的无穷小.x0lim10,函数1是当x时的无穷小.xxxlim(1)n0,(1)n}是当n时的无穷小.数列{nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无
3、穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如....limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则1为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则1为无穷大。xffx小结：无穷大量
4、、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1limf(x)=A?f(x)A+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程x?x0xxx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,x?x0x?x0f(x)A(x).（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x?x0时的无穷小，则limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0xx0
5、【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)?A,误差为(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,n时1是无穷小，但个1之和为不是无穷小.,n1nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)n10，limxsin10，lim1sinx0nnx0xxx推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、
6、无穷小的比较221例如，当x?0时,x,x,sinx,xsin都是无穷小，观察各极限：....x20,x2比x要快得多;lim3x03xlimsinx1,sinx与x大致相同;x0xx2sin11lim2x不存在.不可比.xlimsinx0x0x极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且10.(1)如果lim=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;(3)如果limk=C(C?0,k0)
7、,就说是的k阶的无穷小.例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3xtanx34,故当x3x为x的四阶无穷小.证：lim44lim()0时,4xtanx0xx0x例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.tanxsinxtanx1cosx1tanxsinx为x的三阶无穷小.解lim3lim(2),x0xx0xx22．常用等价无穷小:当x0时,（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x（7）1cosx～x2（8）(1x)1～x（9
8、）ax-1～lna*x2用等价无穷小可给出函数的近似表达式:lim1,lim0,即o(),于是有o().例如sinxxo(x),cosx11x2o(x2).23．等
