2020高考数学复习第七章不等式及推理与证明题组层级快练46直接证明与间接证明文（含解析）

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1、题组层级快练(四十六)1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0　　　　　　　　B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案　C解析　0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明(　　)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(

2、b2－1)≥0答案　D3．下列不等式不成立的是(　　)A.2C．233<322D．sin1>cos1答案　B4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P＝QC．P

3、．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案　B解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是(　　)A．a2＋b2≥B．ab≤C.＋≥4D.＋≤1答案　D解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·()2＝，∴A成立；ab≤()2＝，∴B成立；＋＝＝≥＝4，∴C成立；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2>1，∴＋>1，故D不成立．7．(2019·东北四校联考)设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2答案　C

4、解析　假设a，b，c三个数都小于2.则6>a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，即6>6，矛盾．所以a，b，c三个数中至少有一个不小于2.8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案　略证明　要证lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋≤，即证(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2≤a＋b，而2≤a＋b成立，∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．(2019·江苏盐城一模)已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.答案　略解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1

5、＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1.10．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．答案　(1)略　(2)成立，证明略解析　(1)证明：x是正实数，由均值不等式，得x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2.故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x

6、3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，此时不等式仍然成立．11．(2019·湖北武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：＋>(n≥2，n∈N*)．答案　(1)an＝2n－1　(2)略解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则解得故所求的通项公式为an＝2n－1.(2)证明：由(1)可知Sn＝n2，要证原不等式成立，只需证＋>，只需证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2.只需证(n2＋1)n2>(n2

7、－1)2.只需证3n2>1.而3n2>1在n≥1时恒成立，从而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立．12．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，记Sn＝bk，证明：Sn<1.答案　(1)an＝1－　(2)略解析　(1)由题设－＝1，得{}是公差为1的等差数列．又＝1，故＝n.所以an＝1－.(2)由(1)得bn＝＝＝－，∴Sn＝bk＝(－)＝1－<1.13．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明