高中数学椭圆经典例题详解2

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1、-椭圆标准方程典型例题23y2mm例1已知椭圆02mx）求的值．60的一个焦点为（，分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2，根据关系a2b2c2可求出m的值．解：方程变形为x2y21．因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3．62m又c2，所以2m622，m5适合．故m5．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x轴上时

2、，设其方程为x2y21ab0．a2b2由椭圆过点P3，0，知901．又a3b，代入得b21，a29，故椭圆的方程为x2y21．a2b29当焦点在y轴上时，设其方程为y2x21ab0．22ab由椭圆过点P3，0，知901．又a3b，联立解得a281，b29，故椭圆的方程为y2x21．a2b2819例3ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A

3、的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为x，y，由GCGB20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a10，c8，有b6，故其方程为x2y20．1001y36（2）设Ax，y，Gx，y，则x2y21y0．①10036xx，x2y2由题意有1y0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．3代入①，得A的轨迹方程为yy900324----3----例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45和25，过P点作焦点所在轴33

4、的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F1、F2，且PF14525．从椭圆定义知2aPF1PF225．即a5．，PF233从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1中，sinPF1F2PF21PF1，2可求出PF1F2，2cPF1cos25，从而b2a2c210．6633∴所求椭圆方程为x23y21或3x2y21．510105例5已知椭圆方程x2y21ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是a2b2椭圆上一点，A1PA2，F1PF2．求：F1P

5、F2的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S1absinC求面积．2解：如图，设Px，y，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：F1F22PF1222PF1·PF2cos4c2PF2．①由椭圆定义知：PF1PF22a②，则②2－①得PF1PF212b2．cos故SF1PF21PF1PF2sin12b2sinb2tan．221cos2例6已知动圆P过定点A3，0，且在定圆Bx32y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．：分析：关键是根据

6、题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点A3，0和定圆圆心B3，0距离之和恰好等于定圆半径，即PAPBPMPBBM8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为b42327的椭圆的方程：x2y21．167----说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程----的一种重要思想方法．2x2例7已知椭圆y1，（1）求过点P11，且被P平分的弦所在直线的方程；22（2）求斜率为2的平行

7、弦的中点轨迹方程；（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ1，2求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则22，①①－②得x1x2x1x22y1y2y1y20．x12y1222，②x22y22x1x2，则上式两端同除以x1x2，有x1y1y2由题意知x22y10，x1x2，③y22xx1x

8、2y1y2，④2y将③④代入得x2yy1y20．⑤x1x2（1）将x1，y1代入⑤，得y1y21，故所求直线方程为：2x4y30．⑥22x1x22将⑥代入椭圆方程x22y22得6y26y10，364610符合题意，2x4y30为所求．44（2）将y1y22代入⑤得所求轨迹方程为：x4y0．（椭圆内部分）x1x2（3）将y1y2y1代入⑤得所求轨迹方程为：x22y2x2y0．（椭圆内部分）2x1x2x2（4）由①＋②得：x12x22y12y222，⑦，将③④平方并整理得2x12x22