高中数学 计数原理章末复习学案新人教a版

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1、第一章计数原理章末复习学习目标　1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.3.能用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质．1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1

2、×m2×…×mn种不同的方法．3．排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公式排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝组合数公式C＝＝性质当m＝n时，A为全排列；A＝n！；0！＝1C＝C＝1；C＝C；C＋C＝C备注n，m∈N*，且m≤n4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，k∈{0,1,2，…，n}．(3)二项式系数的性质：①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项

3、的二项式系数相等且最大．③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.类型一　数学思想方法在求解计数问题中的应用例1　车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？考点　组合的应用题点　有限制条件的组合问题解　方法一　设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法

4、有ACC＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，所以共有CC＋CCC＋CCC＋ACC＋CCC＋CCC＝185(种)．方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)．方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)，4名女车工有2名被

5、选上的方法有CCC＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)．反思与感悟　解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．跟踪训练1　从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)考点　排列组合综合问题题点　排列与组合的综合应用答案　60解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类：①没

6、有数字1和3时，有A个；②只有1和3中的一个时，有2A个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C·C个．所以满足条件的三位数共有A＋2A＋C·C＝60(个)．例2　设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1

7、8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决．集合S的含有三个元素的子集的个数为C＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.反思与感悟　对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．跟踪训练2　由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方