高中数学竞赛资料-数论部分

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1、初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。1．请看下面的例子：（1）证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利数学竞赛第一题)（2）①设，证明是168的倍数。②具有什么性质的自然数，能使能整除？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3）证明：对于任何正整数都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4）证明：对任何自然数，分数不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5）令和分别表示正整数的最大公因数和最小公倍数，试证：（1972年

2、美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占。（2）世界上规模最大、规格最高的IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8%。这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程的整数解的个数是（）A、0B、1C、3D、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知都是正整数，

3、试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。（2007全国初中联赛12）19（3）①是否存在正整数，使得？②设是给定的正整数，是否存在正整数，使得？（2007全国初中联赛14）（4）关于的方程的整数解得组数为（）A、2B、3C、4D、无穷多（2009全国初中联赛5）（5）已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为（2009全国初中联赛8）（6）已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和。（2009全国初中联赛12）（7）个正整数满足如下条件：；且中任意个不同的数的算术平均数都是正数，求的最大值。（2009

4、全国初中联赛14）(8)在一列数中，已知，且当时，（取整符号表示不超过实数a的最大整数，例如）则等于（）A、1B、2C、3D、4（2010全国初中联赛4）（9）求满足的所有素数P和正整数m。（2010全国初中联赛13）（10）从这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？（2010全国初中联赛14）（11）设四位数满足，则这样的四位数的个数为（2011全国初中联赛10）19（12）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求a+b+c的值（2011全国初中联赛11）（13）若从中任取5个两两互素的不同的整数

5、其中总有一个整数是素数，求n的最大值。（2011全国初中联赛13）（14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如，，……那么=（2007福建省高一数学竞赛12）（15）求最小的正整数n，使得集合的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。（2007福建省高一数学竞赛14）（16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（）A、20个B、21个C、22个D、43个（2008福建省高一数学竞赛5）（17）设、为非负整数，使得是5的倍数，是3的倍数，且，则的最小值为（2008福建省高一数学竞赛1

6、1）（18）正整数中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则的最小值是（2008福建省高一数学竞赛12）（19）设（n为正整数），若S得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n的最大值。（2008福建省高一数学竞赛17）（20）设是不超过x的最大整数，则=（2009福建省高一数学竞赛11）（21）已知集合M是集合19的含有m个元素的子集，且对集合M的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z，求m的最大值。（2009福建省高一数学竞赛17）（22）已知a,b,c为正整数，且，为整数，则a+b+c=（2011福建省高一数学竞赛12）（23）正整数，具

7、有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是（2008福建省预赛12）（24）设施周期函数，和1是的周期且，证明：（1）若T为有理数，则存在素数P，使是的周期；（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，（n=1,2,）且每个都是的周期（2008全国高中联赛加试二）（25）方程的实数解事（其中表示不超过的最大整数）（2009福建初赛9）（26）设，令（1）S能否等于2010？证明你的结论；（2）S能取到多少个不同的整数值？（2009福建初赛14）（27）设是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数，使得与