2019版高考数学复习函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理（普通生，含解析）

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1、函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”　　　　　　　　　　　　[技法指导——迁移搭桥]　　函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.　　　　　　　　[典例]　已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明

2、：xf(x)－ex＋2ex≤0.[快审题]求什么想什么讨论函数的单调性，想到利用导数判断．证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化．给什么用什么已知函数的解析式，利用导数解题．差什么找什么证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f′(x)＝－a(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则当00，当x>时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：法一：因为x>0，所以只需证f(x)

3、≤－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，所以当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.法二：证xf(x)－ex＋2ex≤0，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，从而等价于lnx－x＋2≤.设函数g(x)＝lnx－x

4、＋2，则g′(x)＝－1.所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.设函数h(x)＝，则h′(x)＝.所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.[题后悟道]　函数与导数

5、综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f(x)＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝，直线l：y＝(k－3)x－k＋2.(1)若曲线y＝f(x)在x＝e处的切线与直线l平行，求实数k的值；(2)若至少存在一个x0∈[1，e]使f(x0

6、)1时，函数f(x)的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．解：(1)由已知得，f′(x)＝lnx＋1，且y＝f(x)在x＝e处的切线与直线l平行，所以f′(e)＝lne＋1＝2＝k－3，解得k＝5.(2)因为至少存在一个x0∈[1，e]使f(x0)成立．令h(x)＝，当x∈[1，e]时，h′(x)＝≥0恒成立，因此h(x)＝在[1，e]上单调递增.故当x＝1时，h(x)min＝0，所以实数a的取

7、值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，xlnx>(k－3)x－k＋2在x>1时恒成立，即k<.令F(x)＝，则F′(x)＝.令m(x)＝x－lnx－2，则m′(x)＝1－＝>0在x>1时恒成立.所以m(x)在(1，＋∞)上单调递增，且m(3)＝1－ln3<0，m(4)＝2－ln4>0，所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x0(x0∈(3,4))使m(x0)＝0，即x0－lnx0－2＝0.当1x0时，m(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞

8、)上单调递增．故F(x)min＝F(x0)＝＝＝x0＋2∈(5,6)．故k