2019版高考数学复习专题检测（十九）不等式选讲理（普通生，含解析）（选修4_5）

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1、专题检测（十九）不等式选讲1．(2019届高三·湖北五校联考)已知函数f(x)＝

2、2x－1

3、，x∈R.(1)解不等式f(x)<

4、x

5、＋1；(2)若对x，y∈R，有

6、x－y－1

7、≤，

8、2y＋1

9、≤，求证：f(x)<1.解：(1)∵f(x)<

10、x

11、＋1，∴

12、2x－1

13、<

14、x

15、＋1，即或或得≤x＜2或0＜x＜或无解．故不等式f(x)<

16、x

17、＋1的解集为{x

18、0

19、2x－1

20、＝

21、2(x－y－1)＋(2y＋1)

22、≤

23、2(x－y－1)

24、＋

25、2y＋1

26、＝2

27、x－y－1

28、＋

29、2y＋1

30、≤2×＋＝<1.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝

31、

32、x＋1

33、－

34、ax－1

35、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝

36、x＋1

37、－

38、x－1

39、，即f(x)＝故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时

40、x＋1

41、－

42、ax－1

43、>x成立等价于当x∈(0,1)时

44、ax－1

45、<1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时，

46、ax－1

47、≥1；若a>0，则

48、ax－1

49、<1的解集为，所以≥1，故0

50、x＋2

51、－

52、1－x

53、<2的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<.(2

54、)比较

55、4ab－1

56、与2

57、b－a

58、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

59、x＋2

60、－

61、1－x

62、＝所以由0<2x＋1<2，解得－

63、a

64、＋

65、b

66、<＋×＝.(2)由(1)可得a2<，b2<，所以(4ab－1)2－4(b－a)2＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以

67、4ab－1

68、>2

69、b－a

70、.4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.(1)求＋的最小值．(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式

71、x－1

72、＋

73、2x－3

74、≥＋成立，求实数x的取值范围．解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，又因为＋＝(a＋2b)＝＋＋4，由

75、a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当a＝2b时取等号，所以＋的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于

76、x－1

77、＋

78、2x－3

79、≥8，①所以x≤－.②无解，③所以x≥4.综上，实数x的取值范围为∪[4，＋∞)．5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝

80、2x＋1

81、＋

82、x－1

83、.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，

84、f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.6．已知函数f(x)＝

85、x＋1

86、－2

87、x－a

88、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为

89、x＋1

90、－2

91、x－1

92、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A

93、，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，所以△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．7．(2018·郑州二检)已知函数f(x)＝

94、3x＋2

95、.(1)解不等式f(x)<4－

96、x－1

97、；(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若

98、x－a

99、－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)<4－

100、x－1

101、，即

102、3x＋2

103、＋

104、x－1

105、<4.当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

106、综上所述，x∈.(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，当且仅当m＝n＝时等号成立．令g(x)＝

107、x－a

108、－f(x)＝

109、x－a

110、－

111、3x＋2

112、＝所以x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即0

113、x－a

114、＋2

115、x＋b

116、(a>0，b>0)的最小值为1.(1)求a＋b的值；(2)若m≤＋恒成立，求实数m的最大值．解：(1)f(x)＝则f(x)在区间(－∞，－b]上单调递减，在区间[－b，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(－b)＝a＋b，所以a＋b＝1.(2)因为a>

117、0，b>0，且a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋＋