江苏专用版高中数学学业分层测评6圆锥曲线的极坐标方程及应用苏教版

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1、学业分层测评(六)圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆＋＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率．【解】　椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝，p＝＝.取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝＝.设A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是＝2×，解得cosθ＝，所以tanθ＝，即直线l的斜率为.2．已知椭圆方程为ρ＝，过左焦点引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面积．【解】　如图，设A(ρ1，θ

2、)、B(ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝＋＝.因为AB＝8，所以＝8，所以cos2θ＝，sinθ＝.由椭圆方程知e＝＝，＝，则c＝3.S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝OF·ρ1·sinθ＋OF·ρ2·sinθ＝8.3．如图424，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MN⊥AB，并交对称轴于N.图424求证：MN2＝AF·BF.【证明】　取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝.设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则AF·BF＝·＝.不妨设0＜θ＜，则MF＝(ρ1－ρ2)＝(－)＝

3、.所以MN＝MF·tanθ＝tanθ＝.所以MN2＝AF·BF.4．如图425，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点．图425(1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD；(2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值．【解】　圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标方程为ρ＝.设A(ρ

4、1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝－4.(1)由题意，得tanθ＝2，所以sin2θ＝.所以AB＋CD＝－4＝6.(2)AB＋CD＝－4，当sin2θ＝1，即θ＝时△ABF2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求△FAB的面积的最小值．【解】　设A(ρ1，θ)、B，则ρ1＝，ρ2＝＝.△FAB的面积为S＝ρ1ρ2＝··＝＝.设t＝sinθ－cosθ，则sinθcosθ＝.所以1－cosθ＋sinθ－sinθc

5、osθ＝1＋t－＝(t＋1)2.又t＝sinθ－cosθ＝sin∈[－，]，所以当t＝，即θ＝时，△FAB的面积S有最小值.6．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且∠F1PF2＝90°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程．【导学号：98990017】【解】　(1)因为∠F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F，即a2＋a2＝4c2.所以e＝＝.(2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝＝

6、.设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2＝＋＝＋＝.因为F1F2＝2c，所以△ABF2的边AB上的高h为2c

7、sinθ

8、，△ABF2的面积S＝·AB·h＝＝＝.因为＋

9、sinθ

10、≥2，所以当

11、sinθ

12、＝1，即θ＝或θ＝时S取到最大值．所以当l过左焦点且垂直于极轴时，△ABF2的面积取到最大值pc，所以pc＝12，即b2＝6.故a2－c2＝6.又＝，所以a2＝12，c2＝6.所求椭圆的方程为＋＝1.7．已知椭圆＋＝1，直线l：＋＝1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足

13、OQ

14、·

15、OP

16、＝

17、OR

18、

19、2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】　如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程ρ＝.由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ＝，①ρ2＝.②由

20、OQ

21、·

22、OP

23、＝

24、OR

25、2得ρ·ρ2＝ρ(ρ≠0)．将①②代入，得ρ·＝，则ρ＝(ρ≠0)．这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y，即＋＝1(x、y不同时为0)．∴点Q的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于

26、x轴，长、短半轴长分别为，的椭圆(去掉坐标原点)．[能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径

27、AB

28、＝2r(r＞0)，半圆外一条直线l与AB所在直