第七章群专业资`料

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1、-_第七章群论§1群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。如A属于G：B属于G：则有()（7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。一个数学群必须首先定义一种乘法。2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。如AB

2、C=A(BC)=(AB)C(7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即EA=AE=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4)称为的逆元素。逆元素可以是该元素本身。下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素，任一实数m的逆元素为。-_(3)G={0,±1,±2,±3

3、……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中“乘”的意思是加。1+2=3封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6缔合性满足0+3=3+0=30是单位元素n+(-n)=0n有逆元素-n213（4）G={E、I}(Ci)这个群（称为Ci）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。把E和I作用到任意函数上，结果为：如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故，IE=I0（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。同理，EI=I;II=E;EE=E。可以把以上

4、结果归纳为乘积表（或称乘法表）：EIEEIIIE可见封闭性满足。IEI=(IE)I=II=EIEI=I(EI)=II=E可见缔合性满足。单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。（5）H2O分子（）我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间的连线。于是整个水分子再yz平面上，有一个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一个镜面反映动作，亦用表示。另一个对称面，为yz平面，与此相联系的操作是。有一个对称轴c，就是z轴，即分子绕z轴转动180°复原，此对称操作亦用C2表示。-_还有一个对称操作是E：不动。因此，这个点群包含四个对称操作：G={E,c2，，}称为。其乘积表为：214群元素为

5、对称操作的群称为对称群（Symmetrygroup），亦称为点群（Pointgroup），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素只收在一个点相交。-_215(1)G={1,-1,I,-i}对普通乘法而言，构成一个群。封闭性：1×(-1)=-1(-1)×(-1)=1i×i=-1i×(-i)=-1缔合性：1×i×(-1)=[i×i]×(-1)=i×(-1)=-i1×i×(-1)=1×[i×(-1)]=1×(-i)=-i等。单位元素：1逆元素：i(-i)=1(-1)(-1)=11×1=1群中元素的数目称为群的“阶”，用h表示，本例中h=4。显然

6、例(2)(3)中群元素的书目h为无穷大，故称为无限群，例(1)则是有限群。应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可使物体(包括分子)或图形复原，对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面)称为对称元素，如一个大分子(如本例中的H2O分子)能沿某一轴（如本例中的Z轴）旋转180º，转动后所得分子和原来完全一样(复原)，则称这个分子有二重轴。在群论中二重轴和旋转180º这个动作都用同一个符号C2表示，而群元素则是对称操作。从抽象的观点看，在数学上具有相同性质，尽管其元素含义实际上不一样。如例(1)U={1,-1,i,-i}和军训的基本动作所构成的群-_向

7、右转立正V={↑,↓,←,→}向左转向后转同构，1↑，-1↓，i←，-i→，且-1×i=-i对应↓←=→等。显然两个同构的群具有相同的阶，且乘积表的“结构”相同，因此若已知D3和C3v同构且已知C3v的乘积表，则容易写出D3的乘积表，只要把C3v中的，，都换成``````````(手稿看不清)216EEEEEE乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如C2C2=E等)易知，C2=等可这样得到：任选一个点1，先作用得2，再作用C2得3，通过的作用可直接由1→3，可见C2=。由乘积表可