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《2018年秋高中数学 立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 空间向量与空间角学习目标：1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)[自主预习·探新知]空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝
2、cos
3、＝直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝
4、cos
5、＝二面角αlβ的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则
6、cosθ
7、＝
8、cos
9、＝[0，
10、π]思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则θ＝(2)条件平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值
11、．( )(2)两条异面直线所成的角，不可能为钝角．( )(3)二面角的余弦值等于二面角的两个半平面的法向量所成角的余弦值．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )A．30° B．60° C．150° D．120°B [设l与α所成的角为θ，则sinθ＝
12、cos〈m，n〉
13、＝，∴θ＝60°，应选B．]3．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线
14、AC与BC1所成角的余弦值为________.【导学号：46342174】 [如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)．∴＝(1,1,0)，＝(0,1,3)，cos〈，〉＝＝＝＝.综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.][合作探究·攻重难]求两条异面直线所成的角 如图3220，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余
15、弦值的大小．图3220[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．∴
16、cos〈，〉＝＝＝.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.[规律方法] 1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．2．由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向
17、量夹角α的范围是[0，π]，故应有cosθ＝
18、cosα
19、，求解时要特别注意．[跟踪训练]1．已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )A． B． C． D．C [依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为，则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为，＝，＝(－1,0，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，故异面直线所成角的余弦值为.故选C．]求直线与平面所成的角 如图
20、3221，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图3221(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【导学号：46342175】[思路探究] (1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的
21、中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(
