浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数ⅰ3.5指数与指数函数讲义（含解析）

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1、§3.5　指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数幂的含义，掌握有理数指数幂的运算．2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用．3.了解指数函数的变化特征.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于

2、0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa>100时，y>1；当x<0时，00时，01(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为_____

3、___．提示　c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示　当a>1时，ax>1的解集为{x

4、x>0}；当01的解集为{x

5、x<0}．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.(　×　)(2)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)(5)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　×　)(6)函数y＝2－x在R上为单调

6、减函数．(　√　)题组二　教材改编2．[P59A组T4]化简：(x＜0，y＜0)＝________.答案　－2x2y3．[P56例6]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.答案　解析　由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.4．[P59A组T7]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．答案　cb>1，又c＝<0＝1，∴c

7、数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．答案　(－，－1)∪(1，)解析　由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－＜a＜－1或1＜a＜.7．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．答案　或解析　当01时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或.题型一　指数幂的运算1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．＝答案　D解析　对于A，(－

8、2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确．2．计算：－10(－2)－1＋π0＝________.答案　－解析　原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.3．化简：·(a>0，b>0)＝________.答案　解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝.4．化简＝________(a>0)．答案　a2解析　原式＝a2.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把

9、底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二　指数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)＝1－e

10、x

11、的图象大致是(　　)答案　A解析　f(x)＝1－e

12、x

13、是偶函数，图象关于y轴对称，又e

14、x

15、≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.(2)已知函数f(x)＝

16、2x－1

17、，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<2答案　D解析　作出函数f(x)＝

18、2x－1

19、的图象，如图，