天津市部分区六校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题

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1、2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1．复数，则（）A．0B．C．1D．2．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A．16B．15C．14D．133．下列叙述中正确的是（）A．若，则“”的充分条件是“”B．若，则“”的充要条件是“”C．命题“”的否定是“”D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件4．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．5．如图所示，在长方体ABCD－

2、A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．6．已知，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或8．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.10．设公比为的正项等比数列的前

3、项和为，且，若，则__________.11．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.12．已知，，且，则的最小值等于__________.13．设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为.若，且三角形的面积为，则的值为___________.14．已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）数列的前项和为，已知，.其中（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.16．（13分）

4、已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.17．（13分）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.18．（13分）已知数列满足，，其中（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19．（14

5、分）已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.点为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.20．（14分）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数满足，求证：.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D2．B3．C4．D5．B6．A7．C8．A9．10．211．12．13．14．15

6、．（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………………………6分（Ⅱ）由（1）知，，∴，∴，①.②①-②得，∴.…………………………7分16．（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。…………………………6分（Ⅱ）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.…………………………7分17．（Ⅰ）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．…………………………3分（Ⅱ）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐

7、标系．则：，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，，，所以，设平面的一个法向量，则：取，，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为．…………………………5分（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的的角为，则：，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．…………………………5分18．（Ⅰ）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.…………………………6分（Ⅱ）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.…………

8、………………7分19．（Ⅰ）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．…………………3分（Ⅱ）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.…