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《高中数学数列压轴题练习(江苏)详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•,(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列满足,①求数列的通项公式; ②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(I)设数列的公差为d,则由•,,得, 计算得出 或(舍去). ; (Ⅱ)①,, , , 即,,,......,累加得:, 也符合上式. 故,. ②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 则又,,, ,即, 化简得:当,即时,,(舍去); 当,即时,,符合题意. 存在正整数,,使得,,成等差数列.解析(
2、Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; (Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式; ......②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.2.在数列中,已知,(1)求证:数列为等比数列; (2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.解:(1)证明:, 又, ,, 故, 是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,,若为数列中的最小项,则对有恒成立, 即对恒成立当时,有; 当时,有⇒; 当时,恒成立, ......对恒
3、成立. 令,则对恒成立, 在时为单调递增数列. ,即综上,解析(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.3.在数列 中,已知 , , ,设 为 的前n项和. (1)求证:数列 是等差数列; (2)求 ; ......(3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.(1)证明:由,, 得到, 则又, , 数列是以1为首
4、项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)可以推知:, 所以,, 所以,① ,② ①-②,得 , , , 所以......(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 则, 即因为当时,, 所以数列单调递减. 又, 所以且q至少为2, 所以,①当时,, 又, 所以,等式不成立. ②当时,, 所以所以, 所以,(数列单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.解析......(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; (3)根据等
5、差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.4.已知n为正整数,数列 满足 , ,设数列 满足 (1)求证:数列 为等比数列; (2)若数列 是等差数列,求实数t的值; (3)若数列 是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值.(1)证明:数列满足,, •,•, 数列为等比数列,其首项为,公比为2; (2)解:由(1)可得:•, ,数列是等差数列,, , 计算得出或12. ......时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列. 时,,,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列. 综上可得; (3)解:由(2)得, 对
6、任意的,均存在,使得成立, 即有••, 化简可得, 当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,, 对任意的,不符合题意. 综上可得,当,,对任意的,均存在, 使得成立.解析(1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证; (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得......,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.5.已知常数 ,数列 满足 , (1)若 , , ①求 的值; ②求数列 的前n项和 ; (2)若数列 中存在三项 , ,
7、依次成等差数列,求 的取值范围.解:(1)①, , , , ②,, 当时,, 当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列, 数列的前n项和,, 显然当时,上式也成立, ......; (2), ,即单调递增. (i)当时,有,于是, ,若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 即,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 当时,有.此时于是当时,.从而若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾. 故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. ......当时,有于是此时
