2014专升本复习数学

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1、单元一函数、极限与连续一、内容提要1、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的运算法则。2、掌握极限的四则运算法则，复合函数求极限的法则。3、掌握下列极限的重要性质与关系：（1）等价无穷小量的应用：当，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1+x)～ex－1,1－cosx～,～mx（2）重要极限，。（3）正确理解函数的连续性概念，连续性概念是点的性质，如果f（x）在（a，b）上每一点都连续，则称函数f（x）在（a，b）上连续。（4）连续的两个等价定义：则称函数在x0连续。或。函数定义有三个要求：1）函数f（x）在x0的某个邻域内

2、有定义；2）（5）初等函数在其定义区间上都连续。（6）闭区间上连续函数的重要性质：1）有界性；2）f(x)在[a,b]上必取得最大，最小值至少一次；3）根值定理。（7）间断点的分类：间断点可分两大类（1）第一类：若称为可去间断点；若则称为跳跃间断点。（2）第二类间断点：包括无穷型，振荡型，它们左右极限至少有一个不存在。4、极限的计算方法：1）因式分解；2）分子，分母有理化；3）等价无穷小；4）重要极限；例一、试求下列极限1、2、3、4、解：本例1—3均可采用等价无穷小计算，等价无穷小在极限的计算中起着非常重要的作用；1、原式=；321、原式=2、原式=；3

3、、原式=。极限的计算过程中不可丢失极限号，而的极限应向其标准型凑的方法。例二、说明的存在性。解：本题中，，左右极限不相等，所以原式极限不存在。例三、设研究f（x）的连续性。解：，所以都连续，下面讨论所以不存在，属跳跃型间断点；而，所以在处连续。总之函数的连续区间为在x=1处为跳跃型间断点。例四、设在[0，1]上连续，且，证明必存在一点，使得。解：明显本题采用根值定理，需构造辅佐函数32练习题：1、2、3、6、7、3213、单元二导数与微分一、内容提要1、正确理解导数和微分的定义及几何意义。导数四则运算公式：；；复合函数链导法则：反函数求导法则：△y=f(x

4、+△x)-f(x)=A△x+o(△x)其中、dy=2、掌握导数与微分之间的关系；即一元函数可导与可微等价。3、牢记基本导数公式，导数的四则运算法则，复合函数链导法则，隐函数的求导法则，对数求导法。4、导数基本公式：321、导数四则运算公式：；；2、复合函数链导法则：；7、针对及y是多个因子相乘的可采用两边同时取对数。例题分析例一、设则b，c为何值时1）f（x）在x=0处可导；2）求过点（0，1）的切线方程。解：分段函数的可导讨论，利用可导的左导等于右导；连续的左右极限相等。解：例三、试求下列导数：1、2、32解：1、本题为隐函数求导。2、。例四、星型线夹在

5、两坐标轴之间的切线长度为常数。解：，设切点为（x,y）则切线方程为例五、对任意的非零证明：。解：本题因为f（x）的表达式未知，无法用求导公式，故应从定义出发，利用题设条件得计算f（1）例六、解：（在处用导数的定义，在处也要用导数的定义，但需要分开求）例七、32解：练习题：2、，则3、4、5、已知7、单元三中值定理与洛必塔法则一、内容提要1、掌握微分学的中值定理，注意其条件和结论，具体的证明思路，如何去应用它们。（1）罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续；在（a,b）上可导，且f(a)=f(b),则必有一点使得（2）拉格朗日定理（微分中值定理）：设f(x)在

6、[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则必至少有一点，使得（3）洛必塔法则，用来求型的极限，法则要求1）适用型；2）；而且该法则的条件为充分不必要的。而其它类型需化为方可使用法则。，洛必塔法则可多次使用。例题分析例一、下列做法是否正确：321、设f（x）在x=x0具有二阶导数，则=2、3、解：1、过程不对。第二，三步均有问题，题设条件只有x0一点二阶可导，且第三步要求f（x）的二阶导函数连续。正确解法第二步为：。2、不对。第三步已不符合洛必塔法则的条件，故不可再用法则，应=。3、本题为数列极限，同样不符合洛必塔法则可导的要求，所以不能直接用法则。可采用：。

7、例二、已知讨论f（x）在[0，2]上是否适合Lagrange定理。解：在下面讨论x=1处的可导性，连续性。所以f（x）在[0，2]上连续，在（0，2）上可导，满足Lagrange的条件；。所以满足L中值定理。例三、计算32解：法1、令x=则原式=。例一、求下列极限：1、2、解：1、应先采用重要极限，再采用洛必塔法则。1、原式=。练习题：1、2、3、4、6、数，验证在上满足罗尔定理，并求出对应值。1、单元四导数的应用内容提要1、掌握单调区间的求法，利用一阶导数判别单调性，利用单调性证明不等式。2、掌握和理解极值点，极值的计算；第一充分定理：设f(x)在x0的

8、某个邻域内可导，且或不可导点，如果在x0的两侧异号，则x0是f(x