《2017艺体生文化课-百日突围系列》

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1、---------------------《2017艺体生文化课-百日突围系列》专题12椭圆椭圆的定义与标准方程【背一背基础知识】1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的定义用符号语言表示：．说明：当时，无轨迹；当时，轨迹为线段．2．椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点；（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程：，焦点．其中几何意义：表示长轴长的一半，表示短轴长的一半，表示焦距长的一半，并且有．3．椭圆的一般方程：．【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）在

2、高考中，对于椭圆部分内容，在选择题或填空题中一般考查考生椭圆的定义、离心率、焦点坐标等基础知识的掌握情况；解答题中考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．（2）求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上．“定式”就是根据“形”--------------------------设出椭圆的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为．“定量”就是指利用定义和已

3、知条件确定方程中的系数或．2．典型例题例1若曲线表示椭圆，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由题设可得且,解之得且,故应填.例2【2016高考北京文数】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；【答案】（Ⅰ）；.【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．例3．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C与A

4、，B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（）--------------------------A．B．C．D．【分析】由椭圆的定义确定，再利用离心率求，最后由求，从而的椭圆方程．【答案】A．【方法总结】椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求

5、PF1

6、·

7、PF2

8、；通过整体代入可求其面积等．【练一练趁热打铁】1．【2016年高考北京理数】已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；【答案】（1）.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.椭圆的几何性质【背一背基础知识】

9、--------------------------椭圆的简单几何性质（以为例）：如图1所示，填写各空．(1)范围：．(2)对称性：关于轴、轴以及原点对称，对称轴为轴、轴，对称中心为．(3)顶点：长轴长，短轴长．(4)离心率，．越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁．总结可得如下表格：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点轴长长轴的长，短轴的长[来源:学.科.网]对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距--------------------------离心率焦点三角形面积弦长公式，【讲一讲基本技能】1．必备

10、技能：讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求得；（2）列出关于的齐次方程（或不等式），然后根据，消去，转化为关于的方程（或不等式）求解．2．典型例题例1【2016高考新课标3】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A例2【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.------------------------

11、--【答案】【解析】由题意得，因此【方法总结】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【练一练趁热打铁】1．【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】如图,由题意得在椭圆中,在中,,且,代入解得,所以椭圆得离心率得,故选B.2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的