数值计算方法课程设计--艾尔米特与反艾尔米特裂分方法及其应用

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1、艾尔米特与反艾尔米特裂分方法及其应用专业：信息与计算科学1班组员：200907020113张治伟200907020114黄靖200907020112刘泽程200907020117范兴指导老师：徐静完成日期：2011.12.22前言埃尔米特是十九世纪最伟大的代数几何学家，但是他大学入学考试重考了五次，每次失败的原因都是数学考不好。他的大学读到几乎毕不了业，每次考不好都是为了数学那一科。他大学毕业后考不上任何研究所，因为考不好的科目还是数学。数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不过这无法改变他的伟大：课本上的

2、“共轭矩阵”是他先提出来的；人类一千多年来解不出“五次方程式的通解”，是他先解出来的；自然对数的底的“超越数性质”，在全世界，他是第一个证明出来的人。他的一生证明“一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生”，并且更奇妙的是不会考试成为他一生的祝福。许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。这类插值称作切触插值，或埃尔米特(Hermite)插值。满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。一、实验目的学习使用艾尔

3、米特与反艾尔米特裂分方法,并应用该算法于实际问题.二、实验要求给定函数y=f(x)在n各不同的插值节点xi(i=1,…,n)的函数值yi=f(xi)(i=1,…,n)，用艾尔米特（Hermite）插值多项式求函数在x处的函数值f(x)。三、实验内容1、给定函数y=f(x)在n各不同的插值节点xi(i=1,…,n)的函数值yi=f(xi)(i=1,…,n)，用艾尔米特（Hermite）插值多项式求函数在x处的函数值f(x)。2、Hermite插值多项式下面只讨论函数值和导数值个数相等的情况。问题设在节点a≤x0

4、…

5、:αj(x)及βj(x)(j=0,1,…,n),共有2n+2个，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件：        (4.2)于是:        (4.3)　　下面求αj(x)和βj(x),令：        其中l(x)是拉格朗日插值基函数,因为：         整理得：       解出：               于是：(4.4)同理可得：       (4.5)下面证明满足条件(4.1)的插值多项式是唯一的。用反证法：假设均满足条件(4.1),于是:       在每个节点xk上均为二重根,即

6、φ(x)有2n+2重根,但φ(x)是不高于2n+1次的多项式,故φ(x)≡0,唯一性得证。仿照拉格朗日插值余项的证明方法,若f(x)在(a,b)内的2n+2阶导数存在，则插值余项：       (4.6)其中ξ∈(a,b)且与x有关。重要特例：n=1,选取节点xk和xk+1,插值多项式H3(x),满足条件：       (4.7)根据(4.4)和(4.5)的一般表达式，可得到4个基函数：于是满足(4.7)的插值多项式是：(4.8)其余项为：       三次艾尔米特插值在插值运算时，基本要求就是误差尽可能小，一般认为

7、增加插值基点从而提高差值多项式的次数来提高插值的精度，但实际上这并不是最有效的办法，甚至会产生意想不到的龙格现象，此时，次数的增高反而产生不利影响。艾尔米特插值的基本思想就是使差值多项式与被插函数在插值基点出的导数值也相同。为简化计算，还可以把插值区间划分成若干个子区间，在各子区间独立地进行艾尔米特插值。分段艾尔米特插值的最大优点是能保证插值函数在区间的交界处是光滑的。一般说来，分段艾尔米特插值是消除龙格现象的有效方法，而且相应的计算也简单得多。由(4.8)构造三次艾尔米特插值：即将k代值为1，有三次艾尔米特插值多项

8、式表示如下：H[t(x)]=y0u0(x-x0h)+y1u1(x-x0h)+hz0v0(x-x0h)+hz1v1(x-x0h)其中：h=x1-x0,t=(x-x0)/h;u0t=(t-1)2(2t+1);u1(t)=t2(-2t+3);v0(t)=t(t-1)2v1(t)=t2(t-1)。反艾尔米特裂分方法:反函数插值多项式f(x)的反函数为X