2011_新东方_考研数学_概率论与数理统计_强化_课程_讲义全

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1、2011考研强化班概率论与数理统计讲义主讲：姚孟臣第1讲随机事件和概率1．1知识网络图1．2重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件．*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)．*(3)条件概率与概率的乘法公式．**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)．**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式．(6)伯努利(Bernoulli)概型．各个考核点前面加“**”表示重点考核点；“*”表示次重点考核点；括号前没有标注的表示一般考核点(下同)．1．3课上复习内容1．3．1预备知识在复习“概率论”之前，我们需要掌握

2、“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容，下面将有关内容作一简单介绍：1．3．1．1二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念，尽管如此，我们仍然可以给它一个定性描述．所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体．构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素．集合通常用大写字母A，B，C表示，其元素用小写字母a，b，c表示．设A是一个集合，如果a是A的元素，记作a∈A，用“1”表示这一隶属关系；如果a不是A的元素，记作aA(或aA)，用“0”表示这一隶属关系．因此，我们称这种集合为“

3、二值集合”，在初等概率论中，我们只研究这样的集合．有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论，这里不再重复．下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍．例1设A＝{2，4，8}，则集合A的所有子集是，{2}，{4}，{8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{2，4，8}．注意，在考虑集合A的所有子集时，不要把空集和它本身忘掉．设A，B是两个集合．如果AB，BA，那么称集合A与B相等，记作A＝B．很明显，含有相同元素的两个集合相等．例2设A＝{0，2，3}，B＝{x

4、x为方程x3－5x2＋6x

5、＝0的解}，则A＝B．设A，B是两个集合．如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素，反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素，那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系，并称A与B等价，记作A～B．121与自然数集N等价的任何集合，称为可列集．显然，一切可列集彼此都是等价的．今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个)，并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个)．例3设A＝{a

6、a＝2n，n∈N}，B＝{b

7、b＝n2＋1，n∈N}，则A～B．由上面的讨论可以看出，集合的分类如下：1．3．1．2组合分析中的几个定理 1．

8、加法原理定理1设完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成．若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，……，第n类方法有mn种，并且这m1＋m2＋…＋mn种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1＋m2＋…＋mn种方法．2．乘法原理定理2设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……第n步有mn种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2…mn种方法．3．排列定义1从n个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个元素中每次取出m个元素的排

9、列．定理3从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有nm种不同的排列．例4袋中有N个球，其中M个为白色，从中有放回地取出n个：①N＝10，M＝2，n＝3；②N＝10，M＝4，n＝3．考虑以下各事件的排列数：(Ⅰ)全不是白色的球．(Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球．(Ⅳ)至多有两个白色的球．(Ⅴ)颜色相同．(Ⅵ)不考虑球的颜色．答案是：①当M＝2时，(Ⅰ)83．(Ⅱ)3×22×8．(Ⅲ)3×22×8＋23．(Ⅳ)3×22×8＋3×2×83＋83(或103－23)．(Ⅴ)23＋83．(Ⅵ

10、)103．②当M＝4时，将上面的2→4，8→6即可．分析这是一个可重复的排列问题．由定理3，可求出其排列数．问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8，而不是1倍或6倍的？提示根据加法原理．定理4从n个不同元素中，无放回地取出m个(m≤n)元素进行排列(简称为选排列)共有种不同的排列．选排列的种数用(或)表示，即特别地，当m＝n时的排列(简称为全排列)共有n·(n－1)(n－2)·…·3·2·1＝n!种不同排列．全排列的种数用Pn(或)表示，即Pn＝n!，并规定0!＝1．4．组合121定义2从n个不同元素中，每次取出m个元素不

11、考虑其先后顺序作为一组，称为从n个元素中每次取出m个元素的组合．定理5从n个不同元素中取出m个元素的组合(简称为一般组合)共有种不同的组合．一般组合的组合种数用(或)表示，即并且规定不难看出例5袋中有N个球，其中M个为白色，从中任取n