数学专业本科毕业论文-泰勒公式的几点应用

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1、丽水学院2012届学生毕业论文泰勒公式的几点应用理学院数学082本岑燕丹指导老师：杨征摘要:泰勒公式是非常重要的数学工具，在各类数学问题的解决中有着广泛应用。高等数学教材中对泰勒公式的理论部分已进行了较详细的介绍，但对于泰勒公式的应用涉及的相对较少。所以本文主要通过实例对泰勒公式的应用进行探讨。文中在对泰勒公式系统总结下，主要论述了一元函数泰勒公式在求极限、求极值与拐点及求近似值等的常规应用，还列举了其在判断敛散性、求行列式及解微分方程等的应用，更进一步证明了欧拉公式。文中还将一元函数的泰勒公式推广

2、到二元函数的泰勒公式，以便将高等数学中泰勒公式的内容系统化，便于其研究内容的进一步发展。关键词;泰勒公式;应用;极限;行列式;微分方程;二元函数0引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，并在微积分的各个方面都有重要的应用。它还建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为

3、简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们还可以使用泰勒公式来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的拐点以及解决中值问题等。1泰勒公式的引入设给定了一个函数，我们要找到一个在指定点附近与很近似的多项式。我们的目的是希望找到一个关于的次多项式(1.1)来近似表示，并使当时，其误差是较高阶的无穷小。我们把，与一次多项式，对照一下，可知应该取，而的这两个数值可以由等式26丽水学院2012届学生毕业论文，分别求得。事实上，由此不难推想，为了确定

4、次多项式的全部系数，我们应该假定在点附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：(1.2)由(1.1)计算在点的各阶导数值，代入上面等式(1.2)，得，即，代入(1.1)式则得(1.3)这就是我们找的关于的n次多项式，称为在点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以在点的各阶导数表出的。因此我们得到泰勒定理：如果函数在点的附近有直到n+1阶的导数，则对于点附近的，可表示为的n次多项式与余项的和(1.4)其中（在与之间）定理中的(1.4)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。特别地，当时，泰勒公式(1.4)

5、式变为，这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。26丽水学院2012届学生毕业论文如果，在泰勒公式(1.4)式中，令，则得(1.5)其中（在与之间）公式(1.5)是在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林公式。2泰勒公式的余项类型泰勒公式的余项一般分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比（当时）高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）。泰勒多项式表示时所产生的误差，当时，它是比高阶的无穷小，其中称为n阶余项。上面

6、我们已经引入了带有拉格朗日余项的泰勒公式，下面就简要介绍一下其他三种不同余项类型的泰勒公式。2.1带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个使得：，其中，则称此式为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。2.2带有积分型余项的泰勒公式如果函数f在点的某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少一个t使得:26丽水学院2012届学生毕业论文其中就是泰勒公式的积分型余项。2.3带有柯西型余项的泰勒公式如果函数f在点的

7、某邻域内具有n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有：，，其中就是柯西型余项，当时，又有=。3一元函数泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求未定式的极限未定式是指呈等形式的极限，一般是用洛必达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单明了。例1求极限（）.分析：此为-型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦。解：（）=。又,将cos2x用泰勒公式展开：cos2x=。则==。假如细心思考，这一题

8、目的结果可以引起我们的兴趣。当时，，易知。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？当，时，有：(1)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大；26丽水学院2012届学生毕业论文(2)当n=2时，；(3)当n=1时，是关于x的一阶无穷小；(4)当n=0时，=0。证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3)，先证明(3)：当n=1时，()==。在这里，利用洛必达法则可以解出这个