毕业论文-基于Box-Cox变换的Gamma模型

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1、华中师范大学数学与统计学学院2011年4月10日基于Box-Cox变换的Gamma模型论文作者：曹玉璋指导教师：赵慧副教授学科专业：08级概率论与数理统计研究方向：应用统计第一章引言1.1介绍Gamma分布应用的广泛性比如流行病学、地震学、水文学、心理学，等等。1.2准备知识王文军(1987)发现，构造出，这里和。为了拟合变量的某种概率分布，对Box-Cox变换公式进行简单的修改，如：1.3本文数据来源及其背景表(1)中数据来源于Maxwell(1961.p.70-72)，并且Maxwell对其进行列联表分析；J.A.Nelder(1972.p.37

2、8-380)对表(1)数据建立了具有交互作用的方差分析模型。2本文针对关于梦的不同程度的频数表，对年龄变量进行Box-Cox变换，拟合出三种不同的Gamma分布。3第二章极大似然估计我们知道分布中参数的MLE没有显性表达式2.1两步估计法（）对数似然函数第一步,主要从理论角度证明MLE的存在性第二步，通过散点图求t值因此，我们有MLE结构式与王文军(1987)构造的自协方差估计量一致。42.2均匀布点法1均匀设计是20世纪80年代初由方开泰教授和王元院士提出的一种能适应多因素多水平的试验设计方法。张鹏(2001)提出了基于均匀布点法的全局优化方法。本文

3、也利用均匀布点的思想来搜索极大似然估计值，其方法步骤如下：第一，设计参数的初始可行空间，按照某种均匀布点的思想在内均匀布个点；第二，计算上面个点的似然函数值，进行比较，得到似然函数的局部最优点；第三，借助按照某种要求重新构造参数可行空间，在内均匀布个点，再次比较似然函数值，得到局部最优点；第四，按此步骤依次迭代到第k次，得到，直至，即可得到；否则，返回第三步；因此，我们可以得到和。在一定的程度上，我们可以认为是参数的极大似然估计。52与张鹏(2001)方法比较：均匀布点法也需要预先对模型具一定程度的了解、对未知参数有一个粗略的估计，我们才能设计出参数的

4、初始可行空间。均匀布点法优点在于不需要设计初始点，仅借助计算机重复设计区间、重复均匀布点，直至结果满足一定的精度为止。两者的缺点：若我们对模型了解不够，则所得结果会偏离真值。6第三章估计量的性质1相合性设随机变量，和未知，已知，则有2渐近正态性（条件同上）令，，其中为Fisher信息矩阵。3渐近无偏性7第四章实例分析4.1基于两步估计法的MLE一、通过散点图，求，再代入MLE表达式二、通过函数在的图像，我们可以认定在第四种程度下的年龄变量不服从Gamma分布8基于Box-Cox变换的Gamma模型4.2基于均匀布点法的MLE三种程度对应的模型的参数初始

5、设计，如下表9基于Box-Cox变换的Gamma模型4.3基于回归分析法的MLE1数据未经Box-Cox变换令102数据经Box-Cox变换这里未知参数t由两步估计法或均匀布点法确定3估计量的比较:表(5)反映每个模型中三种方法求出的参数估计值相当接近，且也说明三个模型具有一定的差异性。114结论：右图中前三种程度下的频数直方图对相应的概率密度函数具有一致性。因此，我们可以认定本文建立的基于Box-Cox变换的Gamma模型的合理性。（右图中概率密度函数的参数是由两步估计法得到的）12第五章小结与展望1研究成果本文针对关于梦的不同程度的频数表，对年龄变

6、量进行Box-Cox变换，拟合出Gamma分布。另外，我们利用两步估计法求出了基于Box-Cox变换的Gamma模型中参数的极大似然估计量，而且这种估计量还与王文军(1987)巧妙构造的自协方差估计量一致。2研究目的在实际问题中我们会遇到不同类型的数据，若对数据进行相应的Box-Cox变换，则在很大程度上我们可以拟合出相应的分布，如：指数分布，正态分布，威布尔分布，等等常见的分布。133本文展望：第一，对Box-Cox变换引进的参数t的真值，我们仅通过散点图法和均匀布点法求得，但未从理论上给出它的存在性，因为本文从实际处理的角度将局限在(0,5)的区间

7、内；第二，关于梦的严重程度和强度及与Gamma模型中参数的关系，本文未给出详细的阐述。今后，我们可以从这两个方面进行完善。14谢谢