高考专题--与三角函数有关的应用题高考数学二轮复习核心考点---精校解析Word版

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1、高考专题与三角函数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.【答案】18　【解析】：设BD＝xm，作AH⊥CD，垂足为H，记∠HAC＝α，∠HAD＝β，则α＋β＝45°.因为tanα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1，即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18.在解方程的过程中，若记＝t，则5t＝1－6t2，因为方程中出现的系数较小，所

2、以更易解出方程的根．2.如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【答案】150　【解析】根据图示，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，∴MN＝100×＝150(m)．3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且

3、小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.学-科网【答案】4、如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2.设∠AOC＝xrad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得

4、最大值？思路分析对于(1)，面积S由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S＝αr2可得，另一个是△OCD的面积，根据三角形的面积公式absinC可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．【解析】：(1)因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.(2分)在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD的面积S△COD＝OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx，(4分)从而S＝S

5、△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.(6分)【问题探究，变式训练】例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？【解析】：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分)所

6、以BD＝，AD＝＋，(3分)则S＝a＋2a＋4a＝a，α∈.(7分)(2)令S′＝a·＝0，设cosα0＝.(9分)αα0cosαS′－0＋S单调递减极小单调递增(11分)所以当cosα＝时，S最小，此时sinα＝，AD＝＋＝.(12分)答：(1)S关于α的函数表达式为S＝a，且α∈；(2)当AD＝时，S最小．(14分)【变式1】、如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.(1)当θ＝时，求∠OPQ的大小；学-科网(2)当∠OPQ越

7、大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．【解析】：因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝.(2分)在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．(4分)展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.(8分)(1)当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.答：当θ＝时，∠OPQ＝.(10分)(2)解法1设f(θ)＝，θ∈.则f

8、′(θ)＝＝.令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足sinθ0＝.(13分)列表如下：θ(0，θ0)θ0f′(θ)＋0－f(θ)　　由上表可知，f(θ0)＝是极大值，