凸函数地性质及其应用论文设计

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1、黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractInthisarticle，firstwelistseveralkindofdefinitionsforconvexfunctions，thenwegiveseveralimportantpropertiesofconvexfunctions;finallywedisc

2、usstheapplicationofconvexfunctionsindifferentialcalculus,integralcalculus,andtheproofofinequality.Keywordsintegralpropertiesofconvexfunctions;inequalityofconvexfunctions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式

3、中应用.1凸函数的定义及其相互关系定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若连续,则定义1，2，3等价.2凸函数的性质11黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文定理1

4、设在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,保持成立）：（i）在I上为凸函数（1）（ii）（2）(iii)（3）(iv)（4）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率是x的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论3若是区间I上的凸函数，则I上任意四点s

5、）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x)=.同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知11黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文与皆为增函数.推论5若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有.证明（必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且.由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有.(充分性)设是区间I上的任意三点，由已知条件

6、,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的.定理3设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增.证明（充分性）,不妨设及记，则,或(1)由于(1)式等价于(2)应用定理，使得，但,.故（2）式左端=11黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文按已知条件递增，得知,从而上式0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件

7、是：定理4（不等式）若为上的凸函数，则,，有.证明应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及（i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得==11黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文即对任何正整数,上述不等式成立.推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有.3凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质.例1设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间:①（证明在上有

8、上界）取.因为凸函数,所以其中.故在上有上界；②（证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以,从而，即为在上的下界.例2设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有(1)因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，（其中分别表示在上的上下界）,从而(2)11黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文若可取由