定义及在工程上的应用

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1、分数微积分：历史，定义及在工程上的应用工程师亚当Loverro航空航天部和机械工程圣母大学巴黎圣母院，在46556，U.S.A.2004年5月8日摘要这份报告是针对工程和/或scienti℃时专业谁希望了解分馏周志武，微积分与他/她¯高龄学习（s），其可能的应用。其目的是为°rst揭露读者的观念，德¯nitions适用，分数微积分（包括讨论执行的符号，操作员和分数阶迪®erential方程），二来说明这可能是用于解决几个现代问题。还包括适用范围内是一个名单，并会参考提供一个信息，为进一步研究和分数微积分使用图书馆的读者。1简介传统的积分和导数，至少可以说，一个主食的技术专业的，必要的，因为一个

2、认识与自然及ARTI·工作cial手段系统。分数微积分是数学研究的高龄一°时源于传统德°的微积分积分和导数算子nitions在大致相同的方式分数指数是一个与整数指数的产物。考虑物理意义指数。根据我们的小学教师提供了一个简短的符号指数什么是本质上是一个数值重复乘法。这种概念本身易于掌握，直接。然而，这个物理德¯nition可以清楚地成为困惑时考虑非整数指数。尽管几乎每个人都可以验证一这X3的=X的

3、x

4、的十，一会如何描述X3的物理意义：4，而且还是超越指数x¼。人们不能想象它可能是想乘一个数或本身数量的3.4倍，或¼倍，但这些词汇具有一德¯黑夜值任意x，弗里·本系列在¯黑夜能扩张，或者更实际，通

5、过计算器的价值。现在，以同样的方式考虑积分和导数。虽然他们确实浓度，一个更高的复杂性cepts性质，它仍然是相当容易的身体代表其意义。一旦掌握了，完成这些操作，集成众多的想法或DI®erentiations如下自然。由于极少数的限制满意度（如函数的连续性），完成ñ集成可以变得像乘法有条不紊。但好奇的心无法克制从问的问题是什么，如果n不仅限于一个整数值？再次，在¯rst一目了然，物理意义可以成为了CON-voluted（双关语意），但因为这份报告将显示，°分数微积分ows很自然从我们传统的德¯nitions。而且，正如分数指数如平方根效能变佳，为无数可能方程和应用方面的方式，它会变得明显1阶=2

6、，除此之外，集成效能变佳，可以在许多现代问题的实际使用。2历史和数学背景2.1简史关于这一主题的大多数作者将举出作为所谓的'生日特定日期分数微积分。在一份信1695年9月30日欧莱雅总医院要求他写信给莱布尼茨有关特定符号，他曾在他的出版物中使用的第n-衍生工具线性函数f（x）=x的，DnxDxn。欧莱雅Hopital's莱布尼茨提出的问题，请问结果是如果n=1=2。莱布尼茨的回应：“一个明显的矛盾，从一天有用后果将出现。“在这些分数微积分诞生了话。继欧莱雅Hopital's和Liebniz的¯rst文字狱，分数微积分，主要是研究数学中保留最优秀的人才。傅立叶，欧拉，拉普拉斯是在具有分数的许多微

7、积分和数学后果涉足[2]。许多发现，用自己的符号和方法论，是德¯¯吨nitions的概念2一个非整数阶积分或衍生。其中最著名的有去¯nitions已经普及了分数微积分的世界（还不是整个世界）是黎曼-刘维及Grunwald-Letnikov德¯nition。虽然实际的剪切次数德¯nitions一样的男人和妇女的研究的¯高龄，毫无疑问，他们有很多在关于这两个主题，所以大部分的变化进行了详细的讨论在这文件。的数学理论适用于大部分分数微积分学去veloped前20世纪之交。然而，它是在过去100年中在工程和scienti°C应用最有趣的飞跃已被发现。该数学一直在某些情况下不得不改变，以满足身体现实的要

8、求。卡普托改写了更多的'经典'德°的黎曼，刘维nition分数衍生物，tive为了使用整数阶初始条件，解决他的分数阶迪®erential方程[1]。由于最近在1996年，又重新Kolowankar，黎曼，刘维在分数阶导数的直接投资®erentiate没地方迪®erentiable分形函数[9]。莱布尼茨的响应，在300多年研究的基础上进行干预，至少有一半已经被证明权利。很明显，在20世纪，特别是众多的应用程序和物理分数微积分的表现已经被发现。但是，这些应用和周围的分数演算数学背景远离矛盾。虽然其物理意义是迪±邪教（可以说是不可能的）把握，自己去¯nitions不超过其对应的整数阶严格。德¯ni

9、tions与分数微积分使用的理解将变得更清晰了很快讨论一些必要的，但相对简单的数学，将德¯nitions出现这些概念的研究。这些是伽玛函数，Beta函数，拉普拉斯变换，以及米塔格乐²呃功能，并在下面的讨论四小节。2.2伽玛函数正如将要清楚后，伽玛函数在本质上是联系在一起的分数微积分德¯nition（见分数次积分）。伽玛函数的最简单的解释三仅仅是阶乘的所有实数的推广。在德¯nition的γ功能是由（