数学的应用与中学数学教育--尖峰论坛75讲

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1、尖峰论坛75讲谈谈数学的应用与中学数学教育杨乐（中国科学院数学与系统科学研究院，北京）2010-3非常高兴有机会和大家做一些交流。人教社在中学教育方面做了很多工作，对情况非常熟悉，我在科学院工作，对中学的数学教育情况并不熟悉，对存在的问题了解得很少，因此我说的可能会有不切实际的地方，或者有错误的地方。我只是提出一些看法，作为一家之言，供大家参考。我今天要讲的是两部分,前一部分主要是数学的应用，第二部分侧重于中学数学教育。一、数学的应用（-）什么是数学什么是数学？长期以来,我们都是用恩格斯的“数学是研究数量关系和空

2、间形式的一门科学”来概括。如果只用一句话来概括，我们还是可以用恩格斯这句话。不过，我们现在理解的数量关系中的数量，就不仅仅是平时接触到的数（自然数、整数、分数等），它还可以是向量、矩阵、函数或者算子等等。而空间形式，也不单是平常我们看得到的点.线、面、体。涉及空间形式，现代数学中有个非常重要的概念流形。几千年前，古代的人们就已经对数量关系和空间形式有所认识。比如，古埃及的金字塔就是古代人们在数学的认识和应用方面一个非常典型的也很突出的例子。（-）数学在其他学科中的作用长期以来，数学的发展，一方面是对数学自身的规律

3、进行研究，另一方面是与其他学科的需要紧密结合在一起的。从历史上来看，对数学的应用比较多的，过去主要是物理学、力学和天文。20世纪以来，尤其是最近几十年的发展,使得数学在各门科学，在高新技术，在经济、金融、管理等各个方面都取得了越来越多的应用。比如，计算机和信息科学里，数学应该是最主要的工具。再比如在能源科学、环境科学、工程科学、生命科学等中，数学的应用也越来越深入。而且对于一门学科的研究，常常是用到的数学工具越深入，得到的成果就越好。在20世纪50年代的时候，北京大学的生物系要念六年。但六年中，只有一个学期有数学

4、课，而且课时很少。也就是说当时生物学的研究不太需要高深的数学知识。但是到了70年代，情况就不一样了。中国在十年浩劫以后，开始恢复研究工作，几乎每个专业当时首先要做的，就是调研。要看看十年来，国际上有哪些新的进展，先进的国家在这方面做了哪些工作。那时，中国科学院的一些生物学家就谈到，他们去看生物学各分支学科进展的时候，发现他们那个领域的论文，有三分之一左右看不懂了。这些都是水平很高的中国生物学家,他们看不懂，不是说他们生物学的程度跟不上人家，而是在这三分之一左右的论文中，用了对他们来说比较高深的数学工具和知识。这是

5、可以理解的，每项研究工作都要涉及数量关系，而数量关系的精确化一定要用到数学工具。另外，一些过去被认为跟实际没有多少关系的数学知识，比如说数论和拓扑学的有关内容，现在都找到了非常好的应用，而且这些应用往往都与高新技术有关。（三）数学在国民经济重大问题中的应用下面用一个例子来说明数学在国民经济重大问题中的应用，这是我们研究院几个学者做的一个课题。中国是世界上人口最多的国家，保证粮食的及时供应是一个非常重要的问题。如果某一年，由于各种原因，我们的粮食总产量比较低，不能完全满足需要，我们就要进口粮食。一方面，当中国这样一

6、个大国粮食歉收时，国际市场的粮价就会大幅度飙升，另一方面，如果从国外进口粮食，调拨的工作量又非常大。所以，如果等到夏收秋收都完成，从村.乡、县.省，再到中央来汇总粮食产量的话，我们的工作就会比较被动。因此，从上世纪70年代末，也就是改革开放之初，国务院就提出，有没有可能对粮食总产量进行预报？从那时开始，一些单位就在做这个相当重要的课题。不过，三十多年来的数据表明，数学与系统科学研究院的有关小组是做得最好的。所谓好，第一是准确，第二是提前。我们研究院的小组做的预报，三十年平均误差约为2%o国际上做这方面研究的，比较

7、好的预报误差在5%左右。事实上，粮食预报并不容易，因为它依赖于天气的预报。而天气预报，短期的两三天是比较准确的，但是要预报几个月以后的天气，难度就很大了。我们研究院小组做的预报,夏收和秋收的总产量，在四月底到五月初就出来了，差不多提前了半年的时间。为什么能做到既比较准确，又提前量比较大呢？就是因为我们用了运筹学等数学知识和方法。（四）数学在国家安全重大问题中的应用数学在国家安全重大问题中的应用，也举一个例子。导弹是非常有威力的武器。为了对付这种很厉害的武器，就需要有有反导弹的防御系统，这在军事上是一个非常重要的任

8、务。如果敌方有一个导弹（称为目标导弹）发射出来以后，依靠非常先进的雷达系统，短时间内就可以测定出目标导弹是从什么地方发射的，距离有多少，发射的初速度怎么样，发射的角度是多少。根据这些数据，即目标导弹发射的地点、速度和方位角，我们要马上计算出目标导弹的弹道曲线。确定目标导弹的导弹曲线之后，为了摧毁它，我们要想办法发射一颗导弹（称为拦截导弹），使拦截导弹和目标导弹在高空相遇并