概率与排列组合练习（精华）

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1、概率与排列组合练习思路分析例1在一次棋类比赛中，要进行单循环赛(即每2人都要比赛1场，且他们只需比赛1场).其屮有2人，他们各赛了3场Z后，因故退出了比赛，因此这次共进行了83场，问开始参赛的人有多少？剖析总共83场比赛是由剩余的人进行单循环赛的场次及该2人所赛场次的总和构成，其小早退的2个人各赛的3场可能有两种情况：其一是他们所赛3场都是与其余人进行的；其二是他们两人Z间也进行比赛，第一种情况共赛了6场，而第二种情况共赛了5场。解设开始参赛人数为n,则有C：2+6=83(1)或(?二+5=83(2)(1)中无整数解,(2)的解

2、为15,故开始参赛的人数共冇15人.例2四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共冇多少种？剖析取出的4个点不共而比取出的4个点共而的情形要复朵，所以采用间接法.解不加限制任取4点有C；种方法，减去4点共而的取法.取出4点共面的情况有三类:第一类，共面的4个点在四面体的某一个面上，冇4C：种取法;第二类，过四面体的一条棱上的三个点及对棱屮点共而的平而有6种取法;第三类，过四面体屮的四条棱的屮点，而与另外两条棱平行的平而有3利祛.所以4个点不共而的不同取法共有N二C：)-4C：-6-3=141种方法.迁

3、移点拨少几何有关的组合问题，通常用间接法，但也不是绝对的，不管用什么方法,都应注意考虑问题婆全面，不能遗漏.如平面aII平面3，平面a内有5个点，平面B内有4个点,由这9个点为顶点最多可确定多少个平面?解答时容易遗漏平面a内取2个点以及平面0内也取2个点的情形.例3把20个不加区别的小球全部放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数有多少？剖析解决此题联想到，将若T个球放到三个盒子中，要求每个盒子都不空，有多少种不同的放法？其解法为：将三个盒子按1,2,3号放好后不动，先取1个球放入2

4、号盒，再取2个球放入3号盒,这样问题就转化为将17个小球放入3个盒子屮,使每个盒子都不空的不同放法有多少种？解根据剖析可知，不同放法有N=C^=120种.例4深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该城市有两家出租车公司——蓝色出租车公司和绿色岀租车公司，其屮绿色出租车公司和蓝色出租车公司分别占整个城市出租不的85%和15%.据现场冃击证人说，事故现场的出租车是蓝色，并对证人的辨別能力作了测试，测得他的正确辨认率是80%.丁是警察就认定蓝色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对蓝色出租不公平吗？剖析所谓警察的认定对蓝色出租车公

5、平是指：当证人说出租年是蓝色时，它确实是蓝色的概率大于它是绿色的概率，这时就町以认定蓝色出租车具有较大的肇事嫌疑.解设该城市共有出租车1000辆,那么根据已知信息可得如下的信息:证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色绿色蓝色合计绿色(85%)68017085()蓝色(15%)3()120150合计710290100()120从表中可知，当证人说出租车是蓝色时且它确实是蓝色的概率为—-0.41；而它是绿色290170的概率-0.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对蓝色出租车显然是不290公平的.迁移点拨没有经过正规概率

6、训练的人会认为，警察的想法是正确的，由于证人具有较高的正确辨认能力，因此证人的话具有较大的可信度；事实上，他们忽略了蓝色马车比绿色马车少得多这一垂要的因素.所谓的“经验与直觉”，只冇经过科学实践的检验，才会变成真理.例5某种新蔬菜品种，播种1粒种了发芽的概率为08现在同样的条件下播种10粒种了，可能性授大的是有几粒中了发芽？剖析本题旨在强化n次独立重复试验下某事件恰好发生k次的概率公式的运川；解题的难点与关键在于授大时k的确定.解设播种10粒种子有k粒发芽的概率为P10（k）,贝IJPo（k+1）二編切严（1一0严二（10—k

7、）p二4（10"）（0*9）片（）伙）~c器//（1—〃）心一仗+1）（1—k+~若令宝凹“则翌口“片0伙）R+1・・・4(10-k)Wk+l.解得k+l>0＞聖・・・当8WkW9时,Pio(k+l)WPio(町;若令卅幼则忖幼解得525・•・当0WkW7时，P]()(k+l)2Pio(k)・•・P

8、（）（8）的值最大.迁移点拨由于n次独立重复试验的某个事件发生k次的概率Pn（k）W以看作[p+(l-p)]n的展开式中的项，我们述町以用研究二项式性质的方法来研究这类概率的性质,上题就是一例；实际上上题的结果町以推广到更一般的情

9、形：设0