应用数值分析-数值分析基础概念及备用知识

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1、数值分析基础概念及备用知识一、利用计算机解决科学计算问题步骤：9输出结果实际问题塑世〉数学模型时散化〉构造算法也爭》编制程序一上机运算-二、误差的来源：1、模型误差：数学模型与描述的实际问题之间的误差。2、观测误差：由观测得到的参量产生的误差。3、截断误差（方法误差）：在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，得到的近似解与精确解之间的误差。4、舍入误差（计算误差）：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果取有限位数代替无限位数进行计算所产生的误差。三、误差的基本概念：1、绝对误差（误差）e（x"）:设兀为准

2、确值，疋为兀的一个近似值，定义e（x"）=为近似值F的绝对误差或简称误差。2、相对误差ef（x"）:设兀为准确值，T为兀的一个近似值，定义**匕（疋）=兰二仝或匕二（在T与兀相差甚微时）为近似值了的相对误差。3、绝对误差界（误差界）设兀为准确值，F为兀的一个近似值,如果能对F的绝对误差作出估计，使得e-x-x<£则称£为忙的绝对误差界，简称误差界。4、相对误差界耳：设兀为准确值，F为兀的一个近似值，如果能对F的相对误差作出估计，使得*兀一无er=——；—<£ri*rX则称6为分的相对误差界。四、有效数字：1、设疋为兀的一个近似值，如果/的误差绝对值

3、不超过其某位数字的半个单位，而该数字到的第一位非零数字共有〃位,则称/■是X的具有〃位有效数字的近似值，简称疋有“位有效数字。2、设兀的近似值F表示成规格化的形式疋=±10“xQ.a{a2an如果有x-Z

4、-x)2则/至少有〃位有效数字。4、将任何数乘以10“伙为整数），相当于移动该数的小数点，并不影响其有效数字的位数，故有效数字的位数与小数点的位置无关。五、数值运算的误差估计：两个近似数兀:和兀;,其误差限分别为£（兀；）和£（兀；）,它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为£（X；±Xp=£（兀；）+£（X；）£（兀;兀；）Q兀:£（%；）+兀;£（兀：）£（兀：/兀；）=£（兀;）+

5、兀;恢兀：）「小—FTp，心°）一元函数误差e（/（x））：设/在F的领域上2阶连续可导，利用2阶Taylor公式/(X)=f(x)+f'{xx-x*)+，

6、$(X-X*)2可得))=f(F)(x-x)=f!(x')e(x)元函数误差限£(/(疋))4、多元函数误差e(A):当A=/(x19x2,£)是多元函数时，如果x19x29xn的近似值为兀;,兀；,兀:,A的近似值为才=/(无；,兀；,X*),利用Taylor展开，得e（A^=A-A^t（#（"：*'……切）（林7；）=£（字k=OXkk=OXk5、多元函数误差限£(才)£（AA工孕）g；）k=OXk多元函数相对误差限q.(A*)df£（x；）六、数值运算原则：1、采用收敛稳定的计算方法；2、慎重处理病态的数学问题；3、注意简化计算步骤减少

7、运算次数；4、避免两个相近的数相减；5、避免相对很小的数做除数；6、防止大数吃小数。七、计算量：一个算法所需要的乘法和除法的总次数(计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法)。八、矩阵相关概念:1、矩阵A的谱半径p(A)：设AeRnxA的特征值人，入,•……入,则A的全体特征值｛人，人,……入｝称为A的谱，这些特征值的模的最大值max

8、Ab称为A的谱半径，记为p(A)=max

9、A

10、°]

11、且仅当兀=00寸，兀=0）；②ax=axR；(2)1-范数:③

12、

13、x±y

14、

15、<阿+

16、

17、y

18、

19、，则称N（x）=

20、

21、x

22、

23、是川上的一个向量范数。■0X=OOmax%.0,使得：qx

24、

25、A

26、

27、满足下列条件:①制

28、>0（

29、

30、A

31、

32、=0oA=0）；②网=

33、c

34、制

35、，c为实数；③

36、

37、A+B

38、

39、<

40、

41、A

42、

43、+

44、

45、B

46、

47、；④AB

48、

49、<

50、

51、A

52、

53、

54、

55、B

56、

57、,则称N(A)=

58、

59、A

60、

61、是RnXf