数学系每周一题2015年第1期解答

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1、数学系“每周一题”2015年第1期解答1、解：，即，而有界，故（无穷小乘以有界量为无穷小）2、解：原式附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）2014本杨丽52014本李依娜52014本潘品茶52014本李蓉52014本廖娟02014本何业52014本黄莺52012级本（2）杨洸52012级本（2）聂春梅52012级本（2）曾伦娟3希望同学们踊跃参加！9数学系“每周一题”2015年第2期解答1、设是上的单调不增的非负连续函数，（）证明：数列收敛。证明：==（是上的单调不增的非负连续函数）所以有下界。=（在上单调不增）所以单调不增，因此数列的极限存在，所以数列收敛。2、设在上可

2、导，且，又满足关系，求。解：令，则，所以。代入得，解得。因此，。附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）2014本杨丽392013级本（2）高存艾32013级本（2）杨文飘0希望同学们踊跃参加！9数学系“每周一题”2015年第3期解答1、计算n阶行列式解：（1）当时，（2）当时，第n列，，其中即，……………………①由对称性，类似可得…………②①②，得，所以2、计算n阶行列式解：（用第二数学归纳法），猜想。假设时都成立，时，9。故结论成立。附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）2014本黄莺52014本王文琴02012级本（2）曾伦娟52014本周琴02014本杨丽02014本潘

3、品茶02014本陈廷杨42012级本（2）杨洸52012级本（2）杨伟52012级本（2）陈思红52014本廖娟0希望同学们踊跃参加！9数学系“每周一题”2015年第4期解答1、设函数在区间上连续，在内可导，且，，证明：至少存在一点，使得。证明：因为函数在区间上连续，，，故，则由零点定理知，至少存在点及，使得，。作辅助函数，则在上可导，且，因为，由罗尔定理知：存在点，使得，从而。2、设函数在上二阶可导，且满足，在区间内取得最大值。证明：。证明：设函数在区间内点处取得最大值，则。由泰勒公式知，。因为，所以。又当时，，所以。附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）2014本潘品茶

4、02014本陈廷杨22012级本（2）陈思红5希望同学们踊跃参加！9数学系“每周一题”2015年第5期解答1、设在上连续可导，，证明：。证明：因，则。故，积分得，即。2、设在内，函数连续，单调减少，证明：。证明：作辅助函数，则在内单调减少，因为，则当时，，当时，。所以，在内单调增加，在内单调减少，所以在处取得最大值，从而，对于任意，恒有，但，所以。于是，，所以。附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）化工13本王治美5物理12本何伟3数学2012级本（2）陈思红5希望同学们踊跃参加！9数学系“每周一题”2015年第6期解答1、设、是n阶方阵，若与都可逆，（1）证明：可逆；（2

5、）求的逆矩阵。证明：（1）设,由假设知，那么，故可逆。（2）令，由有可得由（1）+（2）和（1）-（2）得到，于是，；再由（3），（4）可得,故。2、设矩阵，秩,求。答：-3。因为秩,故,但，故或，但当时，秩，因此。附：答题成绩班级姓名得分（满分5分）化工13本徐刚59数学2012级本（2）曾伦娟5数学2012级本（2）陈思红5数学2012级本（2）徐鸿雨5数学2012级本（2）杨洸5数学2012级本（2）杨伟4数学2014级本陈廷杨3数学2014级本黄莺3数学2014级本杨丽3数学2014级本周琴0希望同学们踊跃参加！9