数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲

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1、数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲数学分析I一﹑说明课程性质本课程是专业核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学教学内容所必需。教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。教学内容实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其

2、应用、实数完备性、不定积分。教学时数108学时教学方式讲授与课堂讨论法相结合二﹑本文第一章实数集与函数教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。教学时数：10学时教学内容：§1实数（2学时）实数及其性质；绝对值与不等式§2数集·确界原理（4学时）区间与邻域；有界集的定义；上确界、下确界的定义与性质；确界原理；求解集合的上、下确界§3函数概念（2学时）函数定义的进一步讨论；函数的表示方法；Dirichlet函数、Riemann函数的定义

3、；复合函数的定义与性质；反函数、初等函数的定义。§4具有某些特性的函数（2学时）有界函数的定义；无界函数的定义；单调函数的定义与性质；奇函数、偶函数的定义与性质；周期函数的定义。考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明或求解集合的上、下确界；掌握确界原理的定义；能运用有界函数、无界函数的定义证明函数的有界性与无界性。第二章数列极限教学要点：数列极限的定义；收敛数列的性质；单调有界原理；Cauchy收敛准则。教学时数：15学时教学内容：§1数列极限的概念（6学时）收敛数列的定义

4、，邻域型定义；发散数列的定义；运用收敛数列的定义证明数列的极限；无穷小数列；无穷大数列。§2收敛数列的性质（4学时）收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界性；收敛数列的保号性；收敛数列的保不等式性；收敛数列的迫敛性；收敛数列的四则运算法则；子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。§3数列极限存在的条件（5学时）单调数列的定义；单调有界原理以及运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy收敛准则。考核要求：熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义；熟练掌握收敛数列的各个性质

5、；熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及Cauchy收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性。第三章函数极限教学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。教学时数：19学时教学内容：§1函数极限概念（4学时）时函数极限的定义与几何意义；时函数极限的定义以及几何意义；单侧极限的定义。§2函数极限的性质（4学时）函数极限的唯一性；局部有界性；局部保号性；保不等式性；迫敛性；四则运算法则以及上述性质的应用。§3函数极限存在的条件（4学时）各

6、种类型函数极限存在的Heine归结原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的Cauchy收敛准则。§4两个重要极限（2学时）重要极限的证明及应用；重要极限的证明及应用。§5无穷小量与无穷大量（5学时）无穷小量、有界量的定义；无穷小量的性质；无穷小量阶的比较：高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量；等价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大量与无穷小量的关系；曲线的渐近线。考核要求：熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练掌握函数极限的性质及其应用；掌握

7、函数极限存在的条件，并能用其证明函数是否收敛；熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。第四章函数的连续性教学要点：函数连续、一致连续的定义；函数的间断点；连续函数的性质以及初等函数的连续性。教学时数：12学时教学内容：§1连续性的概念（2学时）函数在一点的连续性；间断点及其分类；区间上的连续函数。§2连续函数的性质（6学时）连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则；复合函数的连续性；闭区间上连续函数的性质：最大、最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。

8、§3初等函数的连续性（4学时）指数函数的连续性、幂函数、对数函数的连续性。考核要求：充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定义分析、论证，能区分不连续点的类型。第五章导数和微分教学要点：熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则，会应用Leibniz公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。教学时数：13学时教学内容：§1导数的概念（2学时）