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1、测度论基础知识总结1.集合论1.1集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。全集：要研究的问题涉及到的最大集合。空集：没有任何元素的集合。表达方法：{x（集合元素x）
2、x应该有的性质}·元素与集合的关系：x∈A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x∈A，x∈B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A≠B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X，
3、它的幂集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。②两个集合的运算交：A∩B={x
4、x∈A且x∈B}并：A∪B={x
5、x∈A或x∈B}差：AB（或写成A-B）={x
6、x∈A且x∉B}补：AC=UA（U是问题要研究的全集）于是有等式AB=A∩BC积：（直积）A×B={(x,y)
7、x∈A且y∈B}（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交λ∈IAλ表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I，I称为指标集。类似有多个并注：可以是无穷个【例】An={x
8、x>1n}，A={x
9、x>0}，
10、则A=n=1∞An·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{An}，定义上限集为n=1∞k=n∞Ak。类似于数列的上极限。②下限集：一列集合{An}，定义下限集为n=1∞k=n∞Ak。类似于数列的下极限。③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。④单调集合列：若始终有An包含于An+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有An+1包含于An，则为递减列。若An为递增列，则有极限limn→∞An=n=1∞An；若为递减列，则有limn→∞An=n=1∞An。1.2映射·定义：X、Y
11、是两个集合，对任意x∈X，存在唯一的y=f(x)∈Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)
12、x∈A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x
13、x∈A且f(x)∈B}记为f-1(B)·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f-1:Y→X·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合gof:X
14、→Z，写成g(f(X))·函数，一个Rn（n维实数向量）到R（实数）上的映射·性质（映射与交并运算顺序可交换性）对于f:X→Y，X若干个子集Aα，Y若干个子集Bαf(UAα)=Uf(Aα)f-1∪Bα=∪f-1Bαf(∩Aα)包含于（只有这一个不一定等于！！！）∩f(Aα)不等于的例子：A={1}，B={-1}，f(x)=
15、x
16、，则f(A∩B)≠f(A)∩f(B)f-1∩Bα=∩f-1Bα用集合相等定义可证明。1.3集合的势·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B性质：①A到B有单射→A与B子集
17、对等A到B有满射→B与A子集对等②A~B，B~C，则A~C（传递性）③A~C，B~D，则A×B~C×D判定：（康托—伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X~Y·基数：有限个元素的集合为元素个数。·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。无限个元素的情况下，定义自然数集的势是ℵ0（阿列夫0）。A的势用
18、A
19、表示。·若A与B的一个子集对等，则
20、A
21、≤
22、B
23、，若与B的真子集对等，则
24、A
25、<
26、B
27、1.4可数集·可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集
28、合和可列集统称可数集。·性质：①任何无穷集合都包含可列子集②可数集的子集还是可数集③两个可数集的交、并还是可数集④可数集和可数集的直积还是可数集·定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。（有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和Z×N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法）定义实数的势是c=ℵ1·定理：单调函数的间断点集是可数集。证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f(x0-0)和f(x0+0)之间必有有理数rx0，而且x0
29、不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0))不会相交，否则不单调。所以间断点和有理数子集{rx0}建立双射，是可数的。·不可数集性质：①一个集合子集不可数，则它不可数②A不可数，B可数，则A~AUB2.n维欧式空间极其简单的性质2.1定义·向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）
