从一个问题说起无穷

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1、從一個問題說起：無窮西松高中蘇惠玉老師在現行高中數學教材中，高一課本有一章內容為數列與級數。其中級數單元的教學目標之一，即是無窮等比級數的求和問題。在南一版本的教科書中，編者提到季諾(ZenoofElea,490BC~430BC)的「阿基里斯悖論」(Achillesparadox)，1與阿基米德(ArchimedesofSyracuse,287?BC~212BC)求拋物線弓形面積，似乎是一個合適的引起學習興趣的切入點。但是，如果我們能夠還原歷史真相，盡量貼近這些古代學者的歷史脈絡，將會發現另一種數學學習的樂趣。同時，或許還能幫助我們多少瞭解學生在學習無窮概念

2、時，所隱含的認知障礙。在無窮等比級數求和這個單元中，一定會有一些幾何圖形的等比變化，然後再求面積或周長的問題。例如，圖一就是一個例子。在這裡我們所提供的問題，為了配合高一的程度，都是直線形如三角形或矩形的問題。然而，引入阿基米德求拋物線弓形面積這一個歷史問題時，教師卻可以將西方數學發展長久以來對「無窮」的恐懼，以及因而導致表達形式的特殊考慮，作一個很好的示範與說明。事實上，我認為這是數學與社會文化脈絡相結合的一個很好的例子。阿基米德的拋物線弓形面積在阿基米德的《求拋物線弓形的面積》中，他利用了兩種方法來證明：「拋物線弓形的面積是同底同頂點的三角形面積的4/3

3、」，分別是力學的方法、無窮級數求和的方法。有關無窮級數的幾何證明方法，他從以下的幾個命題開始（其中題數悉照原書）：命題18設Qq為一拋物線弓形的底，V是Qq的中點，過V點的直徑交曲線於P，則P為弓形的頂點。2命題19如果Qq是被直徑PV平分於V的拋物線的弦，直徑RM於M點平分QV，RW是從R到PV的縱標，則。命題20設拋物線弓形的底為Qq，頂點為P，則三角形PQq大於弓形PQq之半。命題21如過任一拋物線弓形的底為Qq，頂點為P，R是由PQ所截得的弓形的頂點，則。證明：過R點的直徑平分弦PQ，因此也平分QV，其中PV是平分Qq的直徑。設過R點的直徑平分PQ，

4、QV於Y、M，連接PM。由命題19，，又PV＝2YM，因此YM＝2RY，及ΔPQM＝2ΔPRQ。從而，ΔPQV＝4ΔPRQ，及ΔPQq＝8ΔPRQ。如果延長從R到PV的縱標RW與曲線交於r，也有RW＝rW，同理可證得，ΔPQq＝8ΔPrq。命題22如果A、B、C、D…是一系列面積，其中前一向是後一項的4倍，又最大面積A等於內接於拋物線弓形的三角形PQq，且三角形PQq與弓形同底等高，則（A＋B＋C＋D＋…）<（弓形PQq的面積）命題23已知一系列面積A,B,C,D,…Z，其中A是最大面積，且前一項等於後一項的4倍，則A＋B＋C＋…＋Z＋＝。3證明：作面積b,

5、c,d,…使得b=(1/3)B,c=(1/3)C,d=(1/3)D等等，那麼，由於b=(1/3)B，及B=(1/4)A，則有B+b=(1/3)A。類似可得C+c=(1/3)B，…Z+z=(1/3)Y，所以B+C+D+…+Z+b+c+d+…+z=(1/3)(A+B+C+…+Y)。但，b+c+d+…+y=(1/3)(B+C+D+…+Y)，因此，上兩式相減得B+C+D+…+Z+z=(1/3)A，即A+B+C+…+Z+(1/3)Z=(4/3)A。命題24由拋物線與弦Qq所圍成的弓形面積，等於同底等高三角形面積的。證明：令，其中P為弓形的頂點，現要證明弓形面積等於K。

6、如果二者不等，則弓形面積要嘛大於K，要嘛小於K。I.假設弓形面積大於K。在由PQ，Pq截得的弓形內，分別作與該弓形同底等高的內接三角形，及兩內接三角形與兩弓形有相同的頂點R、r，在餘下的弓形內按同樣的方式作內接三角形，如此作下去，直到剩下的弓形面積之和小於弓形PQq與K之差。由此可知，如此形成的多邊形一定大於面積K，這是不可能的，因為，其中A＝ΔPQq，因而弓形面積不大於K。II.假設弓形面積小於K。若令ΔPQq＝A，B=(1/4)A,C=(1/4)B，如此下去，直到得到面積X，使得X小於K與弓形面積之差，則有現在，由於K與A+B+C+…+X之差小於X，又與

7、弓形面積之差大於X，所以A+B+C+…+X>(弓形面積)，這是不可能的。因此弓形面積不小於K。因為弓形面積既不大於K又不小於K，所以（弓形PQq的面積）＝K＝。命題24中，阿基米德的證明方法稱為窮竭（或窮盡）法，即“TheMethodofExhaustion”。所謂的窮竭法證明方式，包含了兩個部分，一個是操作的窮竭，如在曲線圖形內，以同樣的方法，作出許多個內接或外切多邊形，如命題24證明中的內接三角形；另一個部分，即是兩次歸謬證法（reductioadabsurdum）的應用。4在歐基理德的《幾何原本》(TheElements)第12冊的第二個命題，即是利用

8、窮竭法證明：「兩個圓的比如同它們的直徑平方比」(Ci