逻辑代数入门基础

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1、第2章逻辑代数基础2.1概述一、算术运算和逻辑运算在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。二、几个基本概念1、逻辑状态表示法一种状态高电位有真是美生10另一种状态低电位无假非丑死012、两种逻辑体制1高电位低电位0低电位高电位正逻辑负逻辑3、高低电平的规定正逻辑负逻辑2.2逻辑代数中的三种基本运算1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)与

2、逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ开关A，B串联控制灯泡Y16/16A、B都断开，灯不亮A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：Ｙ＝ＡＢ功能表将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：真值表16/16这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。N个变量,有种取值组合。有0出0全1出1实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：Ｙ＝ＡＢ逻辑符号2、或逻辑

3、（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…开关A，B并联控制灯泡YA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。16/16A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+Ｂ功能表真值表有1出1全0出0实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Ｙ＝Ａ开关A控制灯泡Y16/1

4、6A断开，灯亮。A接通，灯灭。功能表真值表AY0110有1出0有0出1Y=A实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：4、复合逻辑运算16/16（1）与非运算：逻辑表达式为：有0出1全1出0（2）或非运算：逻辑表达式为：有1出0全0出1（3）与或非运算：逻辑表达式为：16/16（4）异或运算：逻辑表达式为：相同出0不同出1（5）同或运算：逻辑表达式为：2.3逻辑代数的基本公式和常用公式16/162.3.1定理和恒等式一.定理割断总非变*为+变+为*利用真值表很容易证明这些公式的正确性二.常用恒等式2.4逻辑运算的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量A的等式，如

5、果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。例如，已知等式　　　　　　，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有16/16“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演定理。例如：（3）对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”

6、，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶定理。例如：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。2.5逻辑函数极其表示方法16/162.5.1逻辑函数•Y=F(A,B,C,······)------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：

7、在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。2.5.2逻辑函数的表示方法逻辑函数常用真值表,表达式,卡诺图,逻辑图和波形图来表示。一.逻辑函数一般式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。借助于摩根定律和分配律,可以实现它们之间的相互转换。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。二.逻辑函数标准式1.标准与或式任何逻辑函数利用互补律和分配律都可表示成标准与或式,例（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每

8、个变量都以原变量或反变量