苏州市高三调研测试习题引申与拓展

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1、苏州市2015届高三调研测试试题变式探究、引申拓展填空题部分：5.变：在等比数列{an}中，已知a3=4，a7=，则a4+a6=．或-14.原题：设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围为．解答题部分：15.三角函数定义在解析几何中的研究引例：已知曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为.求点的直角坐标.拓展1：椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；（3）试求面积的最小值.6/6OAB

2、Mxy拓展2：已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值．【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）求等价于求的值.在求时，不要忘记讨论点A、B、M的特殊位置。【解答】（1）将与代入椭圆的方程，得，解得，．所以椭圆的方程为．（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称．①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时．同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时．②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为．设，，由，解得，，6/6所以，同

3、理可得，所以．综上，为定值．【反思】对于第（2）小题也可以设点法来处理，即设点A，B，分别代入椭圆方程即得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或者说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论.OxyABl拓展3：在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：原点O到直线AB的距离为定值；②求AB的最小值．【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e．于是．设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于

4、是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以．因为所以椭圆方程为．（2）①设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知．当直线的斜率不存在或斜率为时，或6/6于是．当直线的斜率存在且不为时，则，解得同理在Rt△OAB中，，则，所以．综上，原点到直线的距离为定值．另解：，所以．②因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值．，令，则，于是，因为，所以，6/6当且仅当，即，取得最小值，因而所以的最小值为．附加题部分：23.已知函数,．（1）当时，求函数的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列，使得对一切都成立？并说明理由．解：（1）=，=，令得，因为，所以．当为偶数时的增

5、减性如下表：无极值极大值极小值所以当时，；当时，当为奇数时的增减性如下表：6/6极大值极小值无极值所以时，；当时，．（2）假设存在等差数列使成立，由组合数的性质，把等式变为，两式相加，因为是等差数列，所以，故，所以．再分别令，得且，进一步可得满足题设的等差数列的通项公式为．探究角度1：一类求和问题的研究与拓展探究角度2：算两次6/6