matrix-analysis-w13.pdf

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1、實變函數論─應用數學系吳培元老師MatrixAnalysis第十三週課程講義∵A൒0&irredu⟹ܣଵ൒0,ܣଷ൒0&ܣଷ്0⟹v>0&w൒0,w്0⟹Pyhasonemorepositivecomponentthanx⟹yhasonemorepositivecomponentthanxNote:Conversetrue:Ex.12.A൒0&ሺI൅ܣሻ௞൐0forsomek൒1⟹Airredu.nA൒0,nxn,irredu.ሺ஺௫ሻ೔Def.r(x)=minଵஸ௜ஸ௡forx൒0,x്0௫௫೔೔ஷ଴Note1.r(x)൒0∀x൒0,x്

2、02.r(x)x൑Ax∀x൒0&r(x)isthelargestp∋px൑Ax∀x൒013.A=[ܽ௜௝],x=൥⋮൩⟹r(x)=min௜∑௞ܽ௜௞14.r(x)=r(px)∀p൐0௦௨௣Def.r'=r(x)௫ஹ଴,௫ஷ଴௦௨௣note5.r'=r(x)௫ஹ଴,ห

3、௫

4、หୀଵnote6.r'=r(ݕsomefor)଴ݕ଴൐0௡௡Ex.13.r(∙)notconti.on{x∈:x൒0,x്0},butr(∙)contion{x∈:x>0}௡n1Pf:LetN={()IAx:x൒0,

5、

6、x

7、

8、ൌ1ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ}n/0

9、௖௢௠௣௔௖௧௡⟹Ncompactin∵r:N→isconti.⟹∃ݕሺݎே∈௬xam=)଴ݕ(r∋N∈଴ݕሻ,Prop.1y00.Check:r'=r(ݕ଴)“൒”:ok“൑”:Letx൒0,

10、

11、x

12、

13、=1Lety=ሺI൅ܣሻ௡ିଵx∈Nn∴r(x)y=ሺI൅ܣሻ௡ିଵr(x)xሺI൅ܣሻ௡ିଵAx=Aynn1實變函數論─應用數學系吳培元老師∵௥ሺ௬ሻ௜௦௧௛௘௟௢௡௚௘௦௧⟹ฏr(x)൑r(y)൑r(ݕ଴)⟹r'൑r(ݕ଴)Prop.3.A൒0,nxn,irredu.⟹ᇣrᇧ'ᇤ൐0ᇧᇥ,ᇣr'ᇧᇧ∈ߪሺܣሻᇤᇧᇧᇥ&“x൒0

14、,x്0,r(x)=r'⟹ሺଵሻሺଶሻAxൌᇣᇧᇧᇤᇧᇧr'ᇥx&ݔ൐0ᇣᇤᇥ”ሺଶሻሺଷሻLetA=ሾܽ௜௝ሿ1Pf:(1)r'൒r(൥1൩)=min௜∑௞ܽ௜௞൐01↑∵“=0”⟹ܽ௜௞=0forithrowofA⟹Aredu.⟶⟵(2)Letx൒0,x്0be∋r(x)=r'∴r'xAxAssumer'x്Ax.ThenProp.1⟹ሺI൅ܣሻ௡ିଵ(Ax-r'x)൐0n

15、

16、Ay-r'y,wherey=ሺܫ݊൅ܣሻ௡ିଵxi.e.r'y൏Ay∵y൐0byProp.1ୠ୷୤.୭୤୰ሺ୷ሻ⟹ฏr'൏r(y)→←defofr'⟹r'x=A

17、x⟹r'∈ߪ(A)(3)∵Ax=r'x⟹y=ሺI൅ܣሻ௡ିଵx=ሺ1൅ݎ′ሻ௡ିଵxnଵ⟹x=y൐0ሺଵା௥ᇱሻ೙షభProofofPerron-Frobenius(1),(2),(3):(1)check:r=r'“൒”:∵r'∈ߪ(A)&r'>0rAmax{

18、

19、:()}r'“൑”:LetAx=⋋x,wherex്0.check

20、⋋

21、൑r'(⟹r൑r')∵

22、Ax

23、=

24、⋋

25、

26、x

27、

28、2實變函數論─應用數學系吳培元老師A

29、x

30、⟹

31、⋋

32、൑r(

33、x

34、)൑r'(2)∵Prop2¬e6(3)check:geommultiofris1

35、LetAx=x,wherex്0∴r

36、x

37、൑A

38、x

39、asabove⟹r(

40、x

41、)൒rButr(

42、x

43、)൑r'=rby(1)⟹r(

44、x

45、)=rProp.3.⟹

46、x

47、൐0ݔଵ∴x=൥⋮൩⟹ݔ௝്0∀jݔ௡Assumegeom.Multi.ofris൐1ݕଵݖଵ⟹∃linearlyindep.eigenvectorsy=൥⋮൩,z=൥⋮൩ofryz,0jjjݖ௡ݕ௡Butif=1/y&=1/z,thenߙy+ߚzhaszerocomponents→←11Check:alg.Multi.ofris1

48、

49、dim{x:ሺݎIെܣሻ௝x=0fo

50、rsomej൒1}nassumealg.Multi.ofr൐1.(2)⟹Letx൐0be∋(rI-A)x=0n∵ker(rIn-A)kerሺݎIെܣሻଶ⋯n∵∃y∋ሺݎIെܣሻଶy=0&(rI-A)y്0nn

51、

52、∴(rI-A)(rI-A)ynn

53、

54、⟹(rI-A)y=ߙxforsomeߙ്0(∵geom.Multi.ofris1)nAlso,ܣ்൒0,irreduwithspectralradicofA&ܣ்equalTT((AAA)(A))⟹∃z൐0∋(rI-ܣ்)z=0n⟹ݖ்(rI-A)=0n⟹ݖ்(rI-A)y=0n

55、

56、

57、⟹ݖ்(ߙx)=0→←z,x൐0&ߙ്03實變函數論─應用數學系吳培元老師⟹alg.Multi.ofris1ProofofPerRon-Frobenius(4)~(7):Pro