五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题

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1、实用标准五年级奥数综合问题第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。文档实用标准核心公式：1．总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．外一层每边人数比内一层每边人数多2相邻两层之间，每层的总数相差83．最外层每边人数=（最外层总人数÷4）＋1最外层总人数=(最外层每边人数-1)×44．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15.中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4文档实用标准例1:学校学生排成一个方阵，最外层

2、的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【巩固3】一个正方形的队列横竖各

3、减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？【巩固4】小红摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员·························有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1解：方阵问题的核心是

4、求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为（人）文档实用标准【巩固】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2

5、）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：8×4×4=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等

6、边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：（棵）。②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，文档实用标准所以大三角形三条边上共栽花：（棵）。③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（棵）中间画斜线小三角

7、形三条边上栽花：（棵）整个花坛共栽花：（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数：200÷4＝50（个）每

8、一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个）最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个）综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）