The New Math Document

《The New Math Document》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、被积函数为偶∫√⇒∫√∫√∫√

2、已知，，求证：()证明：当：采用基本不等式()()()[]()()同时：()典型的贝努利不等式其中()()()其中取等号当时：；()综上可知，结论成立。或[()][()][][]{∑∑∑∫∫∫∫∫∫√√√∫()√()√√√√√√(√)()[]√√√(√)取则所以则则[]积分()()()整理()()关于求导：则则()得到验算合格；那么；()积分[()][]；函数求导：；验证成功求证：∑()证明：∑()∑()∑()∑()()()()()∑()()()设函数在区间[]连续，证明∫；∫∫[∫

3、∫∫]∑

4、

5、

6、∫

7、

8、∫

9、

10、()

11、

12、

13、()()

14、

15、

16、

17、

18、两端绝对收敛，所以∫()

19、()[()()]∫[∫∫]∑

20、

21、

22、∫

23、

24、∫

25、

26、()

27、

28、

29、()()

30、

31、

32、绝对收敛∫()

33、()[()]√√()√∫∫()∫∫()√∫∫()

34、娃娃10分长工25分佃户40分贫农80分渔夫140分猎人230分中农365分富农500分掌柜700分商人1000分衙役1500分小财主2200分大财主3000分小地主4000分大地主5500分知县7700分通判10000分知府14000分总督20000分巡抚30000分丞相45000分帝王70000分∏

35、()，已知若干个点拉格朗日插值多项式∑∏()，∏(，)证明：存在性，∑对于所有都成立，存在性证完。∏，()唯一性假设存在与都为这个点的插值多项式，那么必定是多项式∏()倍数，因此，那么差的次数必定但是两个次多项式的插值次数不可能超过所以，唯一性证毕。∑√∑√∫√∑其中

36、

37、且[，]就可以使用定积分⇒⇒()[][]⇒⇒()[][]所以；或者；利用三角函数有界性∫∑∫(∑)∫∫(∑)∫∫[∑()]∫∫(∑)∫∫∫∫∫∑∫∑∑；

38、

39、；；

40、

41、√√√√√√√√√√√√(√√)∑(∑)√∫∫∫∫[()]√[()]{[()√]}{

42、[()√]}√取()√√√√⇒∫∫∫∫√√√√√√∫∫√√()√√√√√[()]()√[()]√√√√√[()]√√()函数，当(，]求函数在在[]上的最值。解：解得或者得知；；现在需要比较驻点是否在区间[]内，取那么当(，]时，所以()；这说明驻点在区间[]内。同时，当时，那么拟出草图：如右图那么我们现在需要比较，与的大小；记其中(，]，其一驻点(舍去)，0??????另一个驻点满足又，显然可知单调递减其中(，]，可知[())[，√)可知此驻点在(，]内，记为，可知：单调递增(，)，单调递减[，]，所以：为最大值

43、，同时；；所以可知；当故最大值：{其中(，]且是满足方程的根当故最小值＝试求：∑∑()∑[()()]()()取∑；∑∑∑(∑)∑∑(∑)[(∑)][(∑)]得到方程：()()()()()()[()]()从而＝＝[()][()()][][]()√[√][√()][]√√∫∫∫∫∫[]

44、∫∫[]

45、∫()∫()⇒∫∫∫∫∫

46、∫∫∫∫∫[]

47、∫∫[]

48、∫∫()⇒∫∫∫∫∫

49、√√√√∫√⇒∫()∫∫√()()已知，，且；求证∑(∑)(∑)其中()赫尔德不等式，取＝；＝√√[(√)(√)][(√)(√)]()两边立方，作除法，

50、即得求证：赫尔德不等式，非负实数序列{}与{}满足∑(∑)(∑)其中(，且)证明：令(其中[且)，易知，函数为凸函数，那么有：(∑)∑即(∑)∑今取非负实数序列{}，且∑在上述表达式中，令＝代入则有：∑(∑∑)∑∑则(∑)(∑)(∑)(∑)则(∑)(∑)(∑)由题设可令，且＝，＝代入：(∑)(∑)(∑)两边开次方∑(∑)(∑)(∑)(∑)证毕不等式证明：设，；，且；则当且仅当取等号。证明：令(其中且)则，；；，所以，当且仅当取等号令；有：()()两边乘以：()()即()取＝即得证毕。赫尔德不等式，非负实数序列{}与

51、{}满足∑(∑)(∑)其中(，且)取(∑)；(∑)利用不等式则有(∑)(∑)(∑)(∑)序列的式子相加即得(∑)(∑)∑整理即得结果。}与{}满足[∑闵可夫斯基不等式，非负实数序列{](∑)(∑)其中证明：由赫尔德不等式有∑(∑)(∑)其中()∑(∑)(∑)∑(∑)(∑)两式相加：∑[(∑)(∑)](∑)整理得到：[∑]∑∑证毕＝此方程的根为，采用韦达定理进行构造：()∏()的敛散性等价于∑()我们可知()在区间∑()是绝对收敛的，所以∏()收敛，那么，∏()的根，与的根一致，综上：由收敛性，及其共根性，故有＝∏(

52、)成立，证明完毕。已知椭圆方程求椭圆周长，当时，与√哪个更接近椭圆周长。解：∫√[][]∫√∫√∫√∫√()第二类椭圆积分∫√()√()()()√(∫√())√√如何区分近似度还真不好整。√[()√][()][()()][][∑()]∫

53、[][]√∏√∏(√∏())∑()[]

54、∫[][]∑()∑()∏

55、

56、因为其中：

57、

58、求的级数展式，解：∑(∑)(∑)[()]