电磁场与电磁波例题详解

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1、实用标准第1章矢量分析例1.1求标量场通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是，则该点的标量场值为。其等值面方程为：或例1.2求矢量场的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为：从而有解之即得矢量方程，c1和c2是积分常数。例1.3求函数在点（1，1，2）处沿方向角的方向导数。解：由于,,,所以文档实用标准例1.4求函数在点处沿着点到点的方向导数。解：点到点的方向矢量为其单位矢量所求方向导数例1.5已知，求在点和点处的梯度。解：由于所以，例1.6运用散度定理计算下列积分：S是和所围成的半球区域的外表面。解：设：则由散度定理可得文档实用标准例1.7试求和:(

2、1)(2)(3)解：文档实用标准例1.8在球坐标中，已知，其中、为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即。解：在球坐标戏中，例1.9在由，和围成的圆柱形区域上，对矢量验证高斯散度定理。解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算和文档实用标准，得到二者结果相同的结论。在柱坐标系下，有在由，和围成的圆柱形区域内取一个小体积元，可知，其中、、，故而，和围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面（面元矢量，、、）、圆柱下表面（面元矢量，、、）和圆柱侧表面（面元矢量，、、），故有：，即证。例1.10现有三个矢量场、、,分别为：，，。哪些矢量可以由一个

3、标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？文档实用标准解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度：故可以由一个标量函数的梯度表示，可以由一个矢量的旋度表示。文档实用标准第2章静电场与恒定电场例2.1已知半径为a的球内、外的电场强度为下式所示，求电荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得电荷密度为用球坐标中的散度公式可得：例2.2一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是，求极化电荷分布。解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为极化电荷面密度为例2

4、.3一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的以及束缚电荷密度。图2.1文档实用标准解：由介质中的高斯定律可知，在区域内：，故由本构方程得：介质内(a

5、定理计算：故有，文档实用标准例2.5计算图2.2所示深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。已知土壤的电导率为。图2.2解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为所以导体球的接地电导为所以导体球的接地电阻为例2.6半径分别为，球心距为的两球面之间有密度为的均匀体电荷分布，如图2.3所示，求半径为的球面内任一点的电场强度。图2.3解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+和文档实用标准的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场

6、分别由高斯定理计算。正电荷在空腔内产生的电场为，负电荷在空腔内产生的电场为，其中单位向量，分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。考虑到，最后得到空腔内的电场为：例2.7一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内、外的电场强度。解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有例2.8一个半径为的均匀带电圆盘，电荷面

7、密度是，如图2.4所示。求轴线上任一点的电场强度。文档实用标准图2.4解：由电荷的电荷强度计算公式及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。代入场点源点电场的z向分量为上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为例2.9已知半径为a的球内,外电场分布为求电荷密度。解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式:用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出文档实用标准例2.10电荷分布如图2.5所示。试证明，在r>>l处的电场为证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有当r>>l时,将以上结果带入电场强度表