《矩阵地秩地等式及不等式地证明》

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1、实用标准摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.文档实用标准目录第一章绪论1第二章预备知识2第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式3第四章用线性空间

2、的理论证明秩的等式和不等式6第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式10第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式15第七章小结23参考文献24致谢25文档实用标准第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助

3、于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩

4、的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.文档实用标准第二章预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；

5、矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3数域上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行列交叉点上的个元素按原来的次序组成的级行列式称为的一个级子式.定义5设为矩阵,称线性方程组的解空间为的零空间(即核空间)，记作,即.引理1[1]矩阵的行秩等于列秩.引理2[1]任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3

6、阶方阵可逆.证明:充分性:当由知可逆，且必要性:如果可逆，那么有使两边取列式，得，因而.引理4[1]矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为0，同时所有的级子式全为0.引理5[1]如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证明：根据已知可知向量组极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组极大线性无关组的向量个数不超过的极大线性无关组的向量个数，即的秩不超过的秩.引理6[1]在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为，这里表示系数矩阵的

7、秩，也是自由未知量的个数.文档实用标准第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1．证明：由矩阵转置的定义,的行向量组就是的列向量组，因此的行秩就是的列秩，又由引理1知，命题证毕.命题3.2（其中）.证明：的行向量组可由的行向量组线性表出，的行向量组也可由的行向量组线性表出，因此的行向量组与的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义

8、知与的秩相等,命题证毕.命题3.3是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么.证明：令,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知,但是由，又有．所以.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.4[2]设是一个阶方阵，则.证明：若，由引理