等比数列知识点总结材料与典型例题(精华word版)

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1、实用标准等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比2、通项公式：，首项：；公比：推广：3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：（1）当时，（2）当时，（为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列（2）等比中项：为等比数列（3）通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中

2、，有。（3）若，则。特别的，当时，得注：等差和等比数列比较：等差数列等比数列文档实用标准定义递推公式；；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，,,求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.解析：法一：设此数列公比为，则由(2)得：..........(3)∴.由(1)得：,∴......(4)(3)÷(4)得：，∴,解得或当时，，；当时，，.文档实用标准法二：∵,又

3、,∴、为方程的两实数根，∴或∵,∴或.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】±96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a

4、45a46的值。【答案】64；∵，又an＞0，∴a45=4∴。【变式3】已知等比数列，若，，求。【答案】或；法一：∵，∴，∴从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得文档实用标准将代入（1）得，解得或由（2）得或，以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由得，，整理得

5、q3(2q6-q3-1)=0，由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q3≠1，故，所以。举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】；∵，，∴。【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；∵，，则a1=1或a1=9∴.文档实用标准【变式3】在等比数列中，，，，求和。【答案】或2，；∵，∴解方程组，得或①将代入，得，由，解得；②将代入，得，由，解得。∴或2，。类型三：等比数列的性质例3.等比数列中，若,求.解析：∵是等比数列，∴

6、∴举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【答案】100；∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。【答案】216；法一：

7、设这个等比数列为，其公比为，∵，，∴，文档实用标准∴。法二：设这个等比数列为，公比为，则，，加入的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4．在等比数列中，已知，，求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+……+an,b2=an+1+an

8、+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)易知b1,b2,b3成等比数列，∴，∴S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：∵，∴，由已知得②÷①得，即③③代入①得，∴。法三：∵为等比数列，∴，，也成等比数列，∴，文档实用标准∴。举一反三：【变式1】等比数列中，公比q=2,S4=1,则S8=___________.【答案】17；