高中数学（北京师范大学版）必修五教案：21典例分析：正余弦定理在解决三角形问题中的应用

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;解:由正弦定理得sin

2、2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.解：(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]–[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]–2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0s

3、in(-)sinsin=0△ABC是Rt△。二、三角形中的求角或求边长问题http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。图1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。解：设△DEF的边长为x，

4、显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，聞創沟燴鐺險爱氇谴净。所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。解：由cosA=，得sinA=,∵sinB

5、ww.eywedu.net【全免费】又cosC=-cos(A+B)=sinAsinB–cosAcosB=.例3(98年高考题)已知△ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边，且a+c=2b,A–B=60o,求sinB的值.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：由a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB即2sincos=2sinB由A+B+C=180o得sin=cos.又A–C=60o,得=sinB所以=2sincos又∵0o<<90o,cos≠0，所以sin=.从而cos=.所以sinB=.例4．（2005年湖北卷第18题）在

6、△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】解法2：以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.解法3：过A作AH⊥

7、BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】例5、(2005年天津卷第17题)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解法一：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－

8、∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，，由，得http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】所以①由正弦定理.由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，从而例6、（20