高中数学北京师范大学版选修教案：类比推理应用中错误辨析

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com类比推理应用中错误辨析类比在数学思维中的作用主要表现为发现问题、提出猜想、建立模型。欧拉曾经说过，类比是伟大的引路人，他曾多次利用类比的方法做出重大的数学发现。然而，类比推理在所有的推理中是最不严格、最不确定的，它是一种或然推理，其结论正确与否有待实践来证明。本文所举几例正是学生在解题正不恰当的利用类比致使解题失误。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。应用类比推理时只有本质相同或相近的事物才能进行类比，如果把仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物

2、不分青红皂白的乱用类比，就会造成错误。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1、性质类比致误例1、函数的最小正周期是____________.错解：因为函数y＝tanx的最小正周期是，所以函数的最小正周期是.剖析：先前研究过函数的周期性，由其图象（图1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此类比；认为的周期就是y＝tanx周期的一半。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。现作出的图象（图2），易见其最小正周期仍为.2、方法类比致误例2、一张三角形纸片内有99个点，连同该三角形的顶点共102个点，这些点无任何三点共线。若以这些

3、点为顶点把三角形纸片剪成小三角形，可得到小三角形纸片（）个。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A、B、C、200D199http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】错解：从这99（或102）个点中任取3个点，可以得到三角形的个数为（或），因而选A（或B）剖析：此题初看似几何组合问题，因而误用组合计数来计算结果。但△DEC显然不合要求（图3）是否可用“去杂法”求解呢？事实证明这一想法也很难实现，下面给出两种正确解决方

4、案：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解法1：设△ABC内有n个点时所得符合条件的小三角形的个数我f（n），当增加一个点H后（图4），点H将它所在的△BCF又分成了3个小三角形：△BFH、△BCH、△CFH，即每增加一个点后，小三角形的个数就增加两个，于是有fn＋1）＝f（n）＋2，所以f（n）是公差为2的等差数列，且首项f（1）＝3，所以f（n）＝2n＋1，则謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。f（99）＝2×99＋1＝199个，因而选D.解法2：将图3中△ABC内各点全部“拎”起，使之成为一个凸多面体（图5），问题转化为：已

5、知一个多面体的顶点数V＝102，每个面都是三角形，求其面数F.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。因为楞数E＝F，代入欧拉公式V＋F＝E＋2得102＋F＝F＋2，所以F＝200，注意到△ABC已被剪掉，所以正确结果我200－1＝199个，选D.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。点评：这一解法将平面图形类比到空间图形，转化为多面体的面数问题，进而利用欧拉公式来处理，手法之新颖令人拍案叫绝。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3、类比法则产生错误http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备

6、课大师www.eywedu.net【全免费】例3、求方程有实数根的条件。解：因为原方程有实数根，所以，所以，当时，原方程有实根。剖析：本题的方程是虚系数方程，条件既不是它有实数根的充分条件，也不是必要条件。正解：设方程有一实数根，则有所以，＝0……………………………………（1）………………………………………（2）由（2）得＝－b，代入（1）得所以，当b＝0或b＝1时，原方程有实数根。点评：在复数的运算这一内容的学习中,首先要正确理解复数的各种运算法则的条件和实质。然后要明确实数集的运算性质在复数集中哪些

7、仍然适用，哪些又不适用,不能适用的要防止实数集扩展到复数集的负迁移。即：籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(1)

8、Z

9、2≠Z2　　(2)Z1－Z2不能确定正负；　　(3)Z2≥0不成立；　　(4)Z12＋Z22＝0不能推出Z1＝0，Z2＝0；　　(5)实数集内的根式运算法则在复集内受到很大的约束，要尽量避免在复数运算中使用根号，防止滥用根式运算法则。在复数各种运算法则的应用吵仅要注重真正用，更重要的是要注重其逆向应用和变形应用。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。例4、若a、b都是非零向量，a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7

10、a－2b垂直，则a与b的夹角为________.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。错解：由题意得即（1）－（2）得：46a.b=23b,即：2a.b=b…………………………………………（3）消去b得：2a＝bhttp://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】所以：，所以剖析：在（3）中，不能约去b得出2a＝b，这一点与实数乘法是不同的。把（3）代入（1），可