高中数学北京师范大学版选修教案：复习点拨：利用数学归纳法解题举例

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步

2、是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。运用数学归纳法

3、，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。　　(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，　　根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。又能被133整除。所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。由(1),(2)命题

4、时n∈N都成立。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时。要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。一、运用数学归纳法证明不等式问题例2.设a＝＋＋…＋(n∈N),证明：n(n＋1)

5、(n＋1)。【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解】当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴n＝1时不等式成立。假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

6、)，即n＝k＋1时不等式也成立。综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)

7、条不平行，任何三条不共点.求证：这n条直线把平面分成f(n)=个部分.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解:（1)当n＝1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1)=,∴命题成立．(2)假设当n=k时，命题成立，即k条直线把平面分成f(k)=个部分,则当n=k＋1时，即增加一条直线l,因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交有k个交点；又因为任何三条不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同．如此这k个交点把直线l分成k十1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k＋1.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。