近三年全国高考全国卷理科立体几何真题

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1、新课标卷近三年高考题1、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值．【解析】⑴∵为正方形∴∵∴∵∴面面∴平面平面⑵由⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴,∴∴四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为.，即11设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为2、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证

2、明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，11∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如图坐标系．，，，，，，，设面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴．113、（2016年全国III高考）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.4、【2015高考新课标2，理19】如图，长方体中,，，，点，分别在11，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．DD1C1A1

3、EFABCB1（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．11【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用求直线与平面所成角的正弦值．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5、【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=

4、120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）11又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为

5、轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。11故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.……12分【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题

6、，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。6、[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥EACD的体积．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。图13解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩

7、形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

8、

9、为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D，E，＝.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。11设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。可取n1＝.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。又n2＝(1，0，0

10、)为平面DAE的法向量，由题设易知

11、cos〈n1，n2〉

12、＝，即＝，解得m＝.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。因为E为