小学奥数专题--排列组合推理篇

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1、实用标准²排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题²组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题²常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合文档实用标准²

2、基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。三.两个原理的区别n做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类

3、中的方法都是独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)n做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同n这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，

4、因此也将两个原理区分开来．文档实用标准一.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m

5、≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn=Cn-mn来简化计算。规定：Cnn=1,C0n=1.3.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1二.两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景

6、或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如：a=1，ｃ=7，则b=4（文档实用标准即每一组a,c必对应唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理）∴C210＝10×9＝90，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=2×90＝180。【例1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相

7、同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：C38=56。1.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前

8、后统一。注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。【例2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择