小学奥数专题--排列组合推理篇

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1、实用标准²排列问题题型分类:1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题²组合问题题型分类:1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题²常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加,分步组合,有序排列,无序组合文档实用标准²

2、基础知识(数学概率方面的基本原理)一.加法原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1中不同的方法,在第二类办法中有M2中不同的方法,……,在第N类办法中有Mn种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。二.乘法原理:如果完成某项任务,可分为k个步骤,完成第一步有n1种不同的方法,完成第二步有n2种不同的方法,……完成第k步有nk种不同的方法,那么完成此项任务共有n1×n2×……×nk种不同的方法。三.两个原理的区别n做一件事,完成它若有n类办法,是分类问题,每一类

3、中的方法都是独立的,故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)n做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同n这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,

4、因此也将两个原理区分开来.文档实用标准一.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m

5、≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时),可用Cmn=Cn-mn来简化计算。规定:Cnn=1,C0n=1.3.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1二.两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。分析:首先要把复杂的生活背景

6、或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差,∴2b=a+c,可知b由a,c决定,又∵2b是偶数,∴a,c同奇或同偶,即:从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,如:a=1,c=7,则b=4(文档实用标准即每一组a,c必对应唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理)∴C210=10×9=90,同类(同奇或同偶)相加,即本题所求=2×90=180。【例1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相

7、同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法?分析:对实际背景的分析可以逐层深入(一)从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步。(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,∴本题答案为:C38=56。1.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合。采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前

8、后统一。注意排列组合的区别与联系:所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列;同样,组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。【例2】在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种。分析:条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。第一类:A在第一垄,B有3种选择

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