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1、浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算浙江工商大学2010/2011学年第一学期考试试题(A卷)课程名称：＿数学分析（I）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：姓名：题号一二三四五总分分值1010103535100得分阅卷人一、判断题（每空2分，共10分）(1)若对任意的,至多只有有限项满足,则收敛于.()(2)如果极限存在,则函数在点连续.()(3)可微函数在点取极值的充分必要条件是.()(4)若,则曲线必不存在水平渐近线.()(5)有理函数总存在初等函数的原函数.()二、选择题（每题2分，共10分）(
2、1)设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有()A.； B.不一定收敛； C.不一定有界；第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算D.当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立．(2)设在R上为一连续函数，为一区间则有()A.当为开区间时必为开区间； B.当为闭区间时必为闭区间；C.当为开区间时必为开区间；D.以上A.B.C都不一定成立．(3)设在某去心邻域内可导．这时有()A.若存在，则；B.若在连续，则A成立；C.若存在，则；D.以上A.B.C都不一定成立．(4)若，则，使得当时，必有()A.单调递増
3、； B.；C.若存在，则A成立； D.以上A,B,C都不一定成立．(5)下列等式中成立的是.A.B.C.D.三、填空题（每空2分，共10分）1.设,则极限_______________.2.无穷小量当时的阶为________,主要部分为___________.3.已知,则___________.第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算4.曲线在处的切线方程是______________.5．设一曲线的切线斜率为,且经过点,则此曲线方程是_____________.四、计算题（每题7分，共35分）1
4、）(2)写出在点的带有皮亚诺形余项的泰勒展开式.(3)第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算(4)设存在,且，求的值..（5）求.第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算五、证明题（每题7分，共35分）(1)设在上都连续．试证：若，则必存在，满足．(2)证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：,其中均为正数．第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算(3)证明存在，并求出它其中（4）设在上可导，如果求证：.（5）叙述致
5、密性定理、Cauchy准则并用致密性定理证明Cauchy准则.第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算浙江工商大学2010/2011学年第一学期（A卷）答案一、判断题（每空2分，共10分）1、√2、×、3、×4、√5、√二、选择题（每题2分，共10分）1．A2.C3.B4.B5.D三、填空题（每空2分，共10分）1、2、3、14.、5.四、计算题（每题7分，共35分）(1)因为,为有界量,(4分)所以原式(7分)(2)（2分）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。＝（4分）=(7分)（3）由（2分）（4分）（6分）所以
6、第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算（7分）（4）解：由题知在的某邻域，连续且.（1分）因为（3分）所以（5分）又存在，由罗必塔法则（6分）所以.（7分）（5）令,则(2分)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(4分)(6分)(7分)五、证明题（每题7分，共35分）（１）只需引入辅助函数：第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算．易知在上连续，满足，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在，满足，即．（7分） （２）的定义域为，在其上满足：，（2分）所以为一严格凸函数．根
7、据詹森不等式，对任何正数，恒有（6分）最后借助函数的严格递增性，便证得不等式．（7分）（3）（i）归纳证明，假设其成立则（2分）（ii）单调递增，这是因为关于单调递增，故由（i）第11页共11页浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算（4分）故由单调收敛定理极限存在，令，则，所以（7分）（4）先设,因为（2分）故,根据罗必塔法则（4分）同样可证的情况.（5分）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。对于的情况,可设,则有，由上面的讨论得到，.即.（7分）（5）致密性定理:有界数列存在收敛子列.Cauchy收敛准则：Cauchy数列等价于
8、收敛数列.（2分）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。只须证明Cauchy数列为收敛数列.令为Cauchy数列，则易证为有界数列，从而存在收敛子列，故，，.（4分）彈贸摄尔霁毙攬
