模拟试题附标准答案

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1、考试真题（2）答案：一、填空题（每题5分，共20分）1．3，否　　　　2．3．无穷多个4．二、单项选择题（每题5分，共20分）1．C2．Ｂ3．Ａ4．B三、求下列方程（或方程组）的通解（每题8分，共40分）1．解因为，，所以不是恰当方程。将方程改写为，　　通过观察可知它有积分因子，方程两端同乘此积分因子，化成恰当方程，即，所以原方程的通积分为。6/62．解令，则，，代入原方程，得积分两次后，得，代回原变量，得原方程的通解。3．解由于，所以解原方程等价于解下面两个方程与。将方程变形为克莱罗方程，，6/6因而，它们的通解分

2、别是与，奇解分别是与。4．，解它的特征方程为=，特征根为，。解线性代数方程组，求得属于特征向量为，所以对应方程组的一个解为，即。再求方程组对应于二重特征根的解。用待定系数法求方程组的形如的解。将它代入原方程，消去后，得到，，6/6，比较的同次幂系数得，，，它们有下列关系为自由变量。令，则，得到原方程组对应于二重特征根的一个解为。再令，则，又得到原方程组对应于二重特征根的一个解。而方程组的这三个解在时的朗斯基行列式，故它们是线性无关。因此原方程组的通解为6/6，或。四、证明题（10分）证要证明方程组最多有个线性无关的解

3、，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，，方程组存在唯一的解。分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。任取方程组的个解，，这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。这就证明了方程组最多有个线性无关的解。五、应用题（10分）　解过曲线上的点处的切线方程为。6/6令，得截距，由题意，知，即，上式两端关于求导，化简得，，，。因此，的一般表达式为。6/6