求函数值域的方法归类

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1、求函数值域的方法归类在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1.观察法　　对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。　　由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察

2、函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。　　例1：求函数y=（x-3）的值域。　　解：∵函数定义域为-1≤x＜1，又∵≥0，x-3＜0，∴y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。　　2.反函数法　　如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。　　即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。　　例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。　　错解一：∵y=+≥

3、2，∴函数值域y∈［2，+∞）。　　剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。　　错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，　　∵x∈R，∴△4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。　　函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。　　剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。　　正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，　　∵x∈（0，1］，y≥2，∴y+≥2（1），∴方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1

4、，解得y≥，∴函数值域为［，+∞）。　　3.转化法　　利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。　　例3：求函数y=的值域。　　解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。　　∵

5、sin（x+θ）

6、≤1，∴（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。　　4.不等式法　　运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。　

7、　例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。　　错解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。　　剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因

8、sinα

9、≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。　　正解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。　　当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。　　小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。　　5.最值法　　由于初等函数在其定义域内是

10、连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。　　例5：求函数y=的值域。　　解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。　　（1）当cosx∈［-1，-）时，∵y=x+=1-（-1），∴（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞∴-∞＜y≤-1。　　（2）当cosx∈（-，1］时，∵（1+2cosx））=-1，∴（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，∴≤y＜+∞。　　故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.　　一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。　　6.判别式　　根据一元二次方程ax+by+c=0有实

11、根时，△=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。　　例6：求函数y=2x-7x+3的值域。　　解：∵2x-7x+3-y=0，且x∈R，∴△=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，∴该函数值域为［，+∞）.　　此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则