数值研究分作业(七非线性方程求根)

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1、第七章非线性方程求根要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断（2）迭代公式收敛阶概念（3）Newton迭代公式及收敛性定理复习题：1、建立一个迭代公式计算数，要求分析所建迭代公式的收敛性解：迭代式为：数应是函数的不动点（即满足）注意到（1）当时，恒有（2）当时，恒有依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到2、对于方程，（1）证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根（2）讨论迭代格式的收敛性如何？（3）写出求解该实根的牛顿迭代公式解：（1）记显然当时，恒有可见在区间内有且仅有一个零点即方程在区间内有且仅有一个实根（2）取容易验证：（I）当时，恒有，(

2、II)当时，恒有依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛（3）记6/6牛顿迭代法形式：即：1、为求在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：（1）；（2）。试分析每一种迭代的收敛性矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解：记(1)迭代式为，这里记注意到,并且,所以区间为有根区间,并且当时，恒有依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛(2)迭代式为，这里同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛2、对于方程在0.5附近的根。（1）选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。（2）给出求解该实根的牛顿迭代公式解：(1)çè构造迭代式：，即取

3、迭代函数首先，容易验证区间是方程的一个有根区间,并且当时，恒有依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛设是其根的精确值，6/6因为，故收敛为线性收敛，即收敛阶(2)记牛顿迭代法形式：即：1、应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式解：牛顿迭代法形式：即：，即，即如果，可取，如果，可取2、对于非线性证明方程（1）证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.（2）写出Newton迭代求解该根的迭代公式解：（1）记，显然处处可微，所以，在区间(1,)内至少存在一个实根另外，由于所以，在区间(1,)内有且仅有一个实根，可见根（2）牛顿迭代法形式：6/6即

4、：，即即考虑取1、据理证明是方程的一个二重根，并构造计算的具有平方收敛阶的Newton迭代解：记因为所以是方程的一个二重根注意到，当是的m重根时，牛顿迭代法求解仅是线性收敛的事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是，由是的重根，令则容易验证：，因，故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。求方程重根的牛顿迭代法形式：即该迭代至少为平方收敛2、求方程在区间内根的近似值有如下变形6/6（1）试判定对任意初始近似值简单迭代法的收敛性；（2）写出求解该实根的Newton迭代格式，并考虑迭代初值的选取解：（1）记，容易验证并且所以作为区间上的压缩映射，存在一个不动点并且对

5、于，迭代式均收敛到（2）牛顿迭代法形式：即：，即取（注：满足）1、为数值求得方程的正根，可建立如下迭代格式,试利用迭代法的收敛理论证明对于，该迭代序列收敛，且满足.解：记显然所以，对于，迭代式均收敛到2、对于非线性方程（1）证明方程存在唯一实根（2）证明对于任意的，迭代式产生的序列收敛到方程的根（3）构造求解该方程根的Newton迭代式解：（1）记显然连续可微，又6/6所以根据连续函数零点存在定理可知，成立另外，，可见函数严格单调递减故满足的点唯一，即方程存在唯一实根（2）记因为所以，对于，迭代式产生的序列均收敛到方程的根（3）牛顿迭代法形式：即：，即6

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