微分几何作业全解(梅向明高教版四版)

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1、微分几何主要习题解答第一章曲线论§2向量函数5.向量函数具有固定方向的充要条件是×=。分析:一个向量函数一般可以写成=的形式,其中为单位向量函数,为数量函数,那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向,即为常向量,(因为的长度固定)。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。证对于向量函数,设为其单位向量,则=,若具有固定方向,则为常向量,那么=,所以×=(×)=。反之,若×=,对=求微商得=+,于是×=(×)=,则有=0或×=。当=0时,=可与任意方向平行;当0时,有×=,而(×=-(·=,(因为具有固定长,·=0),所以=,即为常向量。所以

2、,具有固定方向。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。6.向量函数平行于固定平面的充要条件是()=0。分析:向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量,使·=0,所以我们要寻求这个向量及与,的关系。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。证若平行于一固定平面π,设是平面π的一个单位法向量,则为常向量,且·=0。两次求微商得·=0,·=0,即向量,,垂直于同一非零向量,因而共面,即()=0。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。反之,若()=0,则有×=或×。若×=,由上题知具有固定方向,自然平行于一固定平面,若×,则存在数量函数、14微分几何主要习题解答,使=+①

3、彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。令=×,则,且⊥。对=×求微商并将①式代入得=×=(×)=,于是×=,由上题知有固定方向,而⊥,即平行于固定平面。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。§3曲线的概念1.求圆柱螺线=,=,=在(1,0,0)的切线和法平面。解令=1,=0,=0得=0,(0)={-,,1}

4、={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为,法平面为y+z=0。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2.求三次曲线在点的切线和法平面。解,切线为,法平面为。3.证明圆柱螺线={a,a,}()的切线和z轴作固定角。证明={-a,a,},设切线与z轴夹角为,则=为

5、常数,故为定角(其中为z轴的单位向量)。4.求悬链线={,}(-)从=0起计算的弧长。解 = {1,},

6、

7、 ==, s= 。9.求曲线在平面 与y=9a之间的弧长。14微分几何主要习题解答解 曲线的向量表示为=,曲面与两平面 与y=9a的交点分别为x=a与x=3a,=,||==,所求弧长为 。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。10.将圆柱螺线={a,a,b}化为自然参数表示。解={-a,a,b},s=,所以,代入原方程得={a,a,}11.求用极坐标方程给出的曲线的弧长表达式。解由,知={-,+},

8、

9、=,从到的曲线的弧长是s=。§

10、4空间曲线1.求圆柱螺线=a,=a,=b在任意点的密切平面的方程。解={-a,a,b},={-a,-a,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为=0,即(b)x-(b)y+az-abt=0.2.求曲线={t,t,t}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。14微分几何主要习题解答解原点对应t=0,(0)={+t,-t,+t={0,1,1},{2+t,-t,2+t={2,0,2},所以切线方程是,法面方程是y+z=0;密切平面方程是=0,即x+y-z=0,主法线的方程是即;从切面方程是2x-y+z=0,副法线方

11、程式。3.证明圆柱螺线=a,=a,=b的主法线和z轴垂直相交。证={-a,a,b},={-a,-a,0},由⊥知为主法线的方向向量,而所以主法线与z轴垂直;主法线方程是鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x=coscost,y=cossint,z=tsin的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解={-cossint,coscost,sin},={-coscost,-cossint,0}預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。{sinsint

12、,-sincost,cos}新曲线的方程为={coscost+sinsint,cossint-sincost,tsin+cos}渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。对于新曲线={-cossint+sincost,coscost+sinsint,sin}={sin(-t),cos(-t),sin},={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。14微分几何主要习题解答即sinsin(t-)x–sincos(t-)y+z–tsin–cos=0.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。5.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线

13、的所有法平面通过一定点。证方法一:设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径具有固定长,所以·=0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径,也就通过其始点球心。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,则·=0,具有固定

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